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Niveau Maths sup
Logique et injectivité
Posté par Kalman
Bonsoir,
Considérons une fonction f de E dans F.
la définition usuelle pour l'injectivité de f est :
Ma question :
en quoi le fait d'écrire est il une erreur ? étrangement j'ai du mal à voir pourquoi ...
C'est probablement tout bête mais cela ne me saute pas aux yeux
Bonsoir Kalman.
Ce que tu as écrit signifie que pour toute paire {x,y} de points de E, les conditions "f(x) = f(y)" et "x = y" sont simultanément vraies.
Cela signifie que E possède au plus un élément.
Bonsoir
Soit ; si x = y alors f(x) = f(y) [que f soit injective ou pas... tant que c'est une application]. Par conséquent (x = y et f(x) = f(y)) équivaut à (x = y).
Si ceci est vrai pour tout , cela signifie que E a au plus un élément...
Kalman
bonjour
f étant une application (chaque élément de l'ensemble de départ ayant exactement 1 image),
la phrase (x=y ET f(x)=f(y)) équivaut à (x=y)
tout simplement !
donc la seconde assertion que tu énonces ne signifie pas que f est injective, mais que l'ensemble de départ n'a qu'un élément ... ou pas du tout ! 
Bonjour à tous et merci pour vos réponses.
Je reviens sur mon erreur :
dire que f est injective si et seulement si : est vrai signifie que si je fixe un couple
de
on doit avoir
ce qui signifie que
et donc que E est un singleton.
pour arriver à l'implication j'écris désormais les choses ainsi :
f est injective si et seulement si :
qui est encore équivalent à :
soit encore équivalent à
soit enfin :
Mon raisonnement est il ok ?
tout cela est un peu fouillis et tarabiscoté !
P 
Q est équivalent à (nonP) OU Q
donc l'injectivité peu s'écrire :
x,y 
E ; (f(x)
f(y) OU x=y)
et pis c'est tout !
matheuxmatou, no problem, on est d'accord c'est cool
Kalman, si vous voulez une réponse un peu plus détaillée, dans votre dernier message à peu près tout est à jeter sauf ceci :
Kalman @ 29-12-2018 à 13:16
f est injective si et seulement si :
=f(y) \quad et \quad x=y) \quad ou \quad (f(x) \not = f(y)\bigg))
f est injective si et seulement si :
Cette affirmation est parfaitement correcte, mais il y a plus court ! pas besoin de préciser que f(x) = f(y) si x = y... (cf. messages précédents). On obtient la forme énoncée par matheuxmatou.
Je vous invite à revoir les histoires de quantificateur, de variables propositionnelles, notion de prédicat, proposition etc. en logique élémentaire... Par exemple lorsque vous écrivez
Kalman @ 29-12-2018 à 13:16
 \not = f(y) \quad et \quad x=y \quad ou \quad x\not= y\big))
c'est barbare ! généralement quand on a plus de deux "et"/"ou", on met des parenthèses ou on lit de gauche à droite en notation infixe, or ici "
(Et non on ne conclut pas que E est un singleton, E peut très bien être vide ! Et vous remarquerez que tout ce que l'on a écrit reste vrai (car on n'a jamais supposé l'existence, on a juste utilisé le quantificateur universel, et si vous niez "