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Niveau Maths sup
Logique Mathématiques
Posté par MSB
Salut
j'ai une proposition et je cherche la démonstration
proposition:
soit E un ensemble, card(E)>2
soit A(E,E) l'ensemble des applications de E dans E
A(E,E) n'est pas équipotent à E.
Merci d'avance.[vert][/vert]
Raisonne par l'absurde. Suppose les deux ensembles équipotents. Il existerait alors une bijection
f : E -> A(E,E)
Construis une application de E dans E (donc un élément de A(E,E)) qui ne soit pas élément de f(E) (qui ne puisse provenir d'aucun x dans E).
Bonjour boninmi
merci mais j'ai pas compris ou et comment je vais trouver la contraduction estimée ??!!
Bonjour,
Si g appartenant à A(E,E) (et donc, par définition, g est une application de E dans E) n'est pas l'image par f d'un élément de E, f ne peut pas être une bijection (puisque ce ne sera pas une surjection).
La construction de g nécessite, je pense l'axiome du choix. Pour chaque x de E, désignons par fx l'image de x (élément de E) par f (cette notation est utile pour mettre en relief que fx est elle même une application, de E dans E). Définissons alors g de la façon suivante: pour un x dans E, choisissons y dans E (axiome du choix, et le fait que E a plus de 2 éléments ) tel que y soit différent de l'image de x par fx
y ≠ fx(x)
(les notations nécessitent un sérieux effort de compréhension).
Alors g n'est l'image d'aucun a de E sinon, par définition cela veut dire que
g=fa
On aurait alors
g(a)=fa(a) et g(a) est par construction choisi différent de fa(a).
Il y a donc contradiction.
Bonjour à tous les deux,
Oui, je pense que l'axiome du choix est nécessaire pour E infini.
Mais " cardE > 2 " me laisse penser qu'il manque peut-être une hypothèse sur le caractère fini de E.
Dans ce cas, il suffit de faire du dénombrement.
Sylvieg @ 07-11-2017 à 10:43
Bonjour à tous les deux,
Oui, je pense que l'axiome du choix est nécessaire pour E infini.
Mais " cardE > 2 " me laisse penser qu'il manque peut-être une hypothèse sur le caractère fini de E.
Dans ce cas, il suffit de faire du dénombrement.
Bonjour à tous les deux,
Oui, je pense que l'axiome du choix est nécessaire pour E infini.
Mais " cardE > 2 " me laisse penser qu'il manque peut-être une hypothèse sur le caractère fini de E.
Dans ce cas, il suffit de faire du dénombrement.
Il me semble d'ailleurs que card E ≥ 2 suffit. Sauf erreur de ma part.
boninmi merci bcp j'ai bien compris,
mais j'ai pas compri que ce qu'il a dit Sylvieg expliquez-moi s'il est possible
merci à vous.
salut
ok sur ce qui a été dit : l'axiome du choix est nécessaire
supposons E fini et notons ses éléments e_1, e_2, ..., e_n
à tout élément e_i de E je lui associe l'application (bijective mais on s'en fout) :
qui permute e_i et son successeur (par convention e_1 est le successeur de e_n)
laisse invariant les autres éléments
cette application est évidemment injective de E dans A(E, E)
mais l'application (bijective) :
qui permute a_1 et a_3
laisse invariant les autres éléments n'a pas d'antécédent ...
