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Niveau Maths sup
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Logique : Raisonnement analyse-synthèse

Posté par
Flewer
06-09-14 à 17:07

Bonjour, je suis en prépa mpsi et je bloque sur ma dernière question de mon dm.
En voici l'énoncé:
Montrer que toute fonction continue f:[0;1]->R est la somme d'une fonction linéaire (x->ax) et d'une fonction d'intégrale nulle sur [0;1]. Y-a-t'il unicité?

Je pense que c'est par analyse-synthèse qu'il faut faire, mais rien de concluant m'arrive à l'esprit.
Voici mes recherches :
Soit f une fonction quelconque de [0;1] dans R. Si g une fonction linéaire de la forme ax a, et h une fonction d'intégrale nulle sur [0;1], i.e. h(x)dx (allant de 0 à 1) = 0, telles que f=g+h, i.e x[0;1], f(x)=g(x)+h(x).

f, g et h étant continues sur [0;1], on a f(x)dx=g(x)dx + 0
f(x)dx=[ax2/2] (0 à 1)
f(x)= a/2

Et là depuis 30 minutes je cherche mais ne vois pas vraiment comment faire.
J'espère que vous pourriez m'aider !

Posté par
kybjm
re : Logique : Raisonnement analyse-synthèse 06-09-14 à 17:16

Si tu rédiges correctement  

S f = g + h ,où .... alors , a = 201f et g : x f(x) - ax .

Inversement ...

Posté par
Flewer
re : Logique : Raisonnement analyse-synthèse 06-09-14 à 17:34

Je ne comprends pas pourquoi g(x)=f(x)-ax. g(x)=2x01f(x)dx non ?

Posté par
carpediem
re : Logique : Raisonnement analyse-synthèse 06-09-14 à 17:58

salut

tout simplement pour toute fonction continue f sur [0, 1] et tout réel a tu as ::  f(x) = ax + (f(x) - ax)

maintenant tu veux que h(x) = f(x) - ax ait une intégrale nulle sur [0, 1] ....

Posté par
Flewer
re : Logique : Raisonnement analyse-synthèse 06-09-14 à 19:54

J'ai h(x)=f(x)-201f(x)dx mais je ne vois toujours pas le truc..

Posté par
kybjm
re : Logique : Raisonnement analyse-synthèse 06-09-14 à 20:31

Inversement si on définit h par h : x 2x01f et  si on pose g = f - h alors on a bien 01g = 0 (et évidemment f = g = h )

Si on pose F = C([0,1],) , G = { g F | 01g = 0 } et si H désigne l'ensemble des applications ha : x ax de [0 , 1] vers , a décrivant , tout élément de F est somme ( d'une seule façon ) d'un élément de G et d'un autre de H .

H et G sont 2 sv supplémentaires de F .

Posté par
Flewer
re : Logique : Raisonnement analyse-synthèse 06-09-14 à 20:40

Je veux bien voir comment tu trouves que 01h(x)dx=0 avec ce procédé..

Posté par
lafol Moderateur
re : Logique : Raisonnement analyse-synthèse 06-09-14 à 21:09

Bonsoir
tu ne sais pas intégrer x entre 0 et 1 ? le reste n'est que constante multiplicative, dans la définition de h ...

Posté par
lafol Moderateur
re : Logique : Raisonnement analyse-synthèse 06-09-14 à 21:10

mais c'est g qui a une intégrale nulle, et h qui est linéaire, dans ce que t'a proposé kybjm (que je salue )

Posté par
Flewer
re : Logique : Raisonnement analyse-synthèse 06-09-14 à 22:08

C'est bon, j'ai compris, merci beaucoup !



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