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Niveau Licence Maths 1e ann
Logique, sur les traces de Hahn Banach
Posté par Aalex00
Bonjour,
Soit un espace vectoriel réel.
Je considère l'ensemble
sous espace vectoriel de
et
linéaire
muni de la relation d'ordre
ssi
et
prolonge
sur
.
Je me donne maintenant un ensemble de
totalement ordonnée (deux élément sont comparables par la relation
).
Je pose
Voila comme est totalement ordonnée, quitte à ré-indicer
je peux écrire :
et
Ce qui me donne ensuite (les inclusions qui suivent montrent en particulier que est bien défini, qu'importe le choix de
) :
Puis-je dire alors que et
pour un
donné de
? Et donc dire que
est dans
?
Pour le contexte, cette question s'inscrit dans la preuve du théorème de Hahn Banach (forme analytique cas réel).
Bonjour Aalex00
Citation :
Voila comme_{j\in J})
est totalement ordonnée, quitte à ré-indicer 
je peux écrire :
et 
Voila comme
Non !
Ton ensemble est "totalement ordonné", et pas "bien ordonné", même si, en soi, il peut l'être. Mais alors, ce ne sera plus la relation d'inclusion des graphes.
Exemple :
pour
La famille
Bonjour jsvdb,
Ah oui effectivement.
Mais dans ce cas je ne vois pas comment montrer un point de la preuve du théorème de Hahn Banach..
Je ne mets d'image puisque ce forum l'interdit (c'est une capture d'un document original : livre de Haïm Brezis si jamais tu le possède) ...
En tout cas merci à toi !
** image supprimée **
* Sylvieg >Demande réalisée 
*
La forme analytique du théorème de HB repose sur le lemme de Zorn, après, la démonstration n'est pas très compliquée, juste chiante ... et instructive quand même.
C'est un théorème de prolongement des formes linéaires.
Je préfère considérer X et Y étant des K-ev l'ensemble Z formé des (F , u) où F est un sv de E et u un élément de L(F,Y) , sur lequel on note (F , u) R (G ,v) la relation " F 
G et v = u sur F " L'inverse de R peut être notée P ( R pour restriction et P pour prolongement ..
R et P sont des relations d'ordre .
Soient J un ensemble totalement ordonné et j 
(Fj , uj) une application croissante .
On pose E =: 
j Fj
Soit x 
F . L'ensemble Kx formé des j J tels que x Fj est non vide et si i et j sont dans Kx on a Fj Fi ou Fi Fj donc uj(x) = ui(x) .
Autrement dit { uj(x) │ j Kx } est un singleton qu'on peut noter { u(x) } .
On définit ainsi une application de E vers Y et il est facile de montrer que u L(F , Y) et que (E , u) est la borne supérieure de { ((Fj , uj) │ j J } .
Bonjour jsvdb et etniopal,
Merci de vos réponses. Et merci Sylvieg, c'était une une maladresse.
Cependant il y toujours un point qui me gène. Dans mon premier post, d'après la remarque de jsvdb je ne peux pas écrire mais alors comment montrer que
est bien un sous espace vectoriel puisqu'en général ce n'est pas le cas pour une union de sous espaces vectoriels ?
Il y a d'ailleurs équivalence entre l'union de s.e.v. est un s.e.v. et ces s.e.v. sont inclus dans l'un d'eux. Comment puis-je alors montrer que il existe un tel que
? Si je ne m'abuse cela revient déjà à parler d'un élément maximal avant même de montrer que
est dans
..
Merci de votre aide.