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Loi uniforme sur un domaine

Posté par
H_aldnoer 24-06-08 à 21:54

Bonsoir,

voici un autre exercice!

Soit \Large{(X,Y)} un couple de variables aléatoires réelles de loi uniforme sur le domaine :
\Large{\mathcal{D}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,, -1<x<1 \,et\, x^2<y<1\}.


1) Déterminez les lois marginales, les espérances et les variances de \Large{X} et \Large{Y}.

2) Les variables aléatoires \Large{X} et \Large{Y} sont-elles indépendantes ?

3) Soit \Large{\Delta^2=]0,1[^2} et soit \Large{h} l'application de \Large{\mathcal{D} dans \Large{\Delta, définie, pour tout \Large{(x,y)\in\mathcal{D}}, par :

\Large{h(x,y)=(\frac{x+1}{2},\frac{y-x^2}{1-x^2^}.

Montrer que \Large{h} est un difféomorphisme dont le jacobien ne s'annule pas sur \Large{\mathcal{D}}.

4) Calculer la densité du couple \Large{(U,V)} où \Large{U=\frac{X+1}{2}} et \Large{V=\frac{Y-X^2}{1-X^2}}

5) Conclure que \Large{U} et \Large{V} sont indépendants et préciser leurs lois marginales.

---

J'ai toujours travaillé sur des v.a. qui suivaient des loi uniformes sur des intervalles !
Ici, \Large{X\sim\mathcal{U}(\mathcal{D}).

Comment obtenir l'expression de la densité \Large{f_X} ?

Posté par
robby3re : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 21:57

mais d'ou sortent ces exos bizarres?

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 22:02

Tu y arrives ?
Moi je ne sais comment étudier une loi uniforme sur un domaine, c'est quand même space!

Posté par
robby3re : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 22:18

f_{(X,Y)}(x,y)=1_{D}

c'est tout!! non?


mais d'ou sortent ces exos?

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 22:21

Tu trouves quoi pour les lois et surtout comment !?

sur le site du prof!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 22:24

Bonjour,

allez un petit essai quand même, tu avais l'air si désappointé...

Je pense qu'on dit que (X,Y) suit la loi uniforme sur ce domaine D si, pour tout ensemble mesurable A de D on a:

4$P[(X,Y)\in A)=\fr{\lambda (A)}{\lambda(D)} où 4$\lambda est la mesure de Lebesgue sur R².

Alors 4$P(X\le t)=P[(X,Y)]\in [-1;t]\times [t^2;1]= aire entre la parabole y=x² et les droites d'équations y=1 et x=t, divisée par aire du domaine D, soit, avec aire(D)=4/3,

4$P(X\le t)=\fr 34\Bigint_{[-1;t]}(1-x^2)dx=-\fr 14t^3+\fr 34t+\fr 12 , sauf erreur.

Posté par
robby3re : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 22:27

en fait,je crois que
f_{(X,Y)}(x,y)=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-x^2}1_{\{(x,y)\in]-1,1[X]x^2,1[\}}.

à vérifier quand meme!



(t'as un lien, parce que j'ai cherché mais pas trouvé )

Posté par
robby3re : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 22:29

j'ai absolument rien compris de ce que tu as fait Tigweg??:?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 22:30

Pardon, petite coquille:

Citation :
Alors 4$P(X\le t)=P[(X,Y)]\in [-1;t]\times [X^2;1]=...

Posté par
robby3re : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 22:32

pourquoi l'aide de D c'est 4/3?
pourquoi integres tu (1-x^2)?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 22:32

Il faut faire un dessin robby: pour trouver la loi de X, on se prend un réel t compris entre -1 et 1, on considère l'événement X < t, et on regarde où peut varier le couple (X,Y) de façon qu'il reste au-dessus de la parabole.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 22:35

Je n'ai pas écrit les calculs, mais pour trouver l'aire comprise entre deux courbes, il faut intégrer la différence entre la fonction la plus grande et la fonction la plus petite.

La plus petite est x², la plus grande est 1 puisque pour x entre -1 et 1, on a x^2\le 1.

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 22:36

D'ou vient la définition du fait que \Large{\mathbb{P}((X,Y)\in A)=\frac{\lambda(A)}{\lambda(\mathcal{D})} ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 22:37

Bien sûr, il faut multiplier mon résultat par la fonction indicatrice de [-1;1].

Si t > 1, la probabilité cherchée vaut 1.

Posté par
robby3re : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 22:38

c'est comme quand tu dis \rm \frac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possibles}
c'est la définition de la loi uniforme,mais ici de maniere beaucoup plus générale

un lien?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 22:40

H > Du fait que pour une seule v.a.r. X , la probabilité que X soit dans un domaine D est proportionnelle à sa mesure de Lebesgue.

Je n'ai fait que généraliser à deux dimensions.

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 22:57

Ok!

Mais comme robby, je ne comprend pas pourquoi \Large{\lambda([-1,t]\times [X^2,1])=\Bigint_{-1}^t1-x^2dx !

J'ai fais mon dessin, tout propre, j'ai calculé \Large{\lambda(\mathcal{D})} sans problème. Mais pour l'aire \Large{\lambda(\mathcal{A})} je procède ainsi :

\Large{Bigint_{-1}^tx^2dx=\frac{t^3}{3}+\frac{1}{3} c'est l'aire sous la courbe.
Je prend l'aire du rectangle \Large{-t}.

Si je soustrait l'un à l'autre je dois obtenir ce qu'il faut en principe !
Soit \Large{\lambda(\mathcal{A})=-t-\frac{t^3}{3}-\frac{1}{3}}, non?

oui, voici le lien , il te faudra ce logiciel pour ouvrir les ".ps"

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 23:05

Faux, l'aire du rectangle vaut t+1 (hauteur de 1, longueur de t-(-1)).



Théorème utilisé (de Terminale, les gars! ) :

Citation :
si f et g sont deux fonctions continues sur l'intervalle [a;b] et si f < g sur I alors l'aire comprise entre les courbes de f et g et les droites x=a et x=b est l'intégrale entre a et b de g-f.

Posté par
robby3re : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 23:12

H_aldnoer> t'as pas le site ou y'a les textes??

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 23:13

Ahhhhh!

Donc c'est bien \Large{\lambda(\mathcal{A})=-\frac{1}{4}t^3+\frac{3}{4}t+\frac{1}{2}} !

Donc \Large{X} suit la loi dont la fonction de répartition est donnée par \Large{F_X(t)=\{-\frac{1}{4}t^3+\frac{3}{4}t+\frac{1}{2}\,si\,t\in[-1,1]\\1\, sinon ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 23:18

Ouihhhhhh (ou presque!)

Il y a aussi le cas où t < -1, auquel cas F_X(t) = 0.

Bien sûr, ce résultat ne vaut que si mon interprétation de la loi uniforme en deux variables est la bonne!

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 23:18

Cherche l'exo robby!
Pour les textes, font convertir le fichier avec le logiciel donné!

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 23:22

Citation :
Bien sûr, ce résultat ne vaut que si mon interprétation de la loi uniforme en deux variables est la bonne!


Regarde Tig, je viens de voir sur quelque chose :

La densité est donnée visiblement par :
\Large{f_{(X,Y)}(x,y)=\{\frac{1}{\lambda(\mathcal{D})}\,si\,(x,y)\in\mathcal{D}\\0\,sinon

Tu pense que l'on puisse s'en sortir ainsi ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 23:25

Ah eh bien dans ce cas ça confirme bien ce que je disais:

La proba que (X,Y) soit dans une partie mesurable A du plan est l'intégrale sur A de ta densité, et comme celle-ci ne dépend ni de x, ni de y, on retombe bien sur le quotient des aires.
Ce que j'ai proposé est donc valable.

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 23:30

Bonne interprétation Mister Tig


Pour l'espérance, dois-je utiliser \Large{\mathbb{E}[X]=\Bigint_{\mathbb{R}}|x|f_X(x)dx ?

Ici, il faut donc dériver l'expression obtenue ?
\Large{f_X(t)=(-\frac{3}{4}t^2+\frac{3}{4})\mathbb{1}_{[-1,1]}

Soit \Large{\mathbb{E}[X]=\Bigint_{-1}^1|t|(-\frac{3}{4}t^2+\frac{3}{4})dt, est-ce cela ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 23:31

Oui, tout-à-fait!

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 23:37

Bon après c'est du calcul ça roule !


Sinon, est-ce bien \Large{\mathbb{P}(Y\le t)=\mathbb{P}((X,Y)\in [-1,1]\times [X^2,t]) ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 23:42

Oui.Il faut donc intégrer t-x² entre les abscisses des points d'intersections -\sqrt t et \sqrt t de la parabole et de la droite y=t.

Ceci ne vaut que si t est compris entre 0 et 1 ben sûr.

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 23:46

J'obtiens donc que \Large{F_Y(t)=\{0\, si\, t<0\\2t-\frac{2}{3}\, si 0\le t\le 1\\ 0\, sinon, soit \Large{f_Y(t)=2\mathbb{1}_{[0,1]}(t) !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 24-06-08 à 23:51

Déjà tu fais toujours la même erreur, F_Y(t) vaut forcément 1 (et pas 0 !) si t > 1.

Ensuite je crois que tu as oublié des t dans le deuxième terme de ta formule centrale, et aussi de diviser par l'aire de D.Je trouve pour t entre -1 et 1:

4$F_Y(t)=t\sqrt t.

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 00:01

Ok pour le 1 si t>1 !

Sinon, je calcule l'aire du rectangle : je trouve \Large{2t}.

Je calcule l'aire sous la courbe : je trouve \Large{\frac{2}{3}t\sqrt{t}.

Je calcule les raccords : je trouve \Large{2(1-sqrt{t})t=2t-t\sqrt{t}}.


En principe, \Large{\mathcal{A}=2t-\frac{2}{3}t\sqrt{t}-2t+t\sqrt{t}=\frac{tsqrt{t}}{3}.

Soit, dans ce cas, \Large{F_Y(t)=\frac{4tsqrt{t}}{9}!

Ou est mon erreur ?

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 00:03

Précision :
le rectangle, c'est \Large{[-1,1]\times [1,t]}.
l'aire sous la courbe, c'est \Large{\Bigint_{-sqrt{t}}^{\sqrt{t}}x^2dx
les raccors, c'est \Large{[\sqrt{t},1]\times [1,t]} et \Large{[-\sqrt{t},1]\times [1,t]}

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 00:04

Tu me fais marrer avec tes rectangles!

Enfin bon si tu y tiens, celui-là a une hauteur de t et une largeur de 2\sqrt t puisque x varie entre plus ou moins racine de t.Il faut soustraire à cette aire l'intégrale entre les mêmes bornes de x².

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 00:06

OK, ton erreur, c'est que tu as oublié qu'on veut que Y < t ...

Trace donc la droite y=t sur ton dessin, tu y verras plus clair!

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 00:10



Je le vois mieux avec les rectangles!

Ok je retrouve bien ce que tu donne

Je me débrouille pour l'espérance et la variance.
Par contre, je ne vois pour le 2).

Le calcul de la variance peut-il nous aider ?

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 00:14

Ah oui mais non, on a trouvé \Large{\mathbb{V}(X)} et \Large{\mathbb{V}(Y)}, mais à priori on ne connait pas \Large{\mathbb{V}(X+Y)}

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 00:18

lol! Et moi qui ne voulais pas faire ton exercice!!

Sans garantie aucune, tu as la densité du couple (X,Y) et les densités de X et de Y.

Je crois que pour avoir l'indépendance, il faut et il suffit que la première soit égale au produit des deux autres!

Mais assure-toi bien que ce que j'avance est vrai!

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 00:25

Citation :
lol! Et moi qui ne voulais pas faire ton exercice!!


Nous sommes lancés ^^


Eh c'est vrai!


\Large{f_{(X,Y)}(x,y)=\{\frac{4}{3}\,si\,(x,y)\in\mathcal{D}\\0\,sinon

Donc c'est constant, aucune chance que ce soit égale au produit \Large{f_X(x)f_Y(y)}, si ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 00:27

En effet, le produit de droite dépend fortement de x et de y!

Mais la condition que je suggérais est-elle bien nécessaire et suffisante?

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 00:32

Citation :
La densité de probabilité d'un couple est le produit de la densité de probabilité des lois marginales de chacun des termes de ce couple


Ca semble plutot bon, non ?

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 00:32

référence :

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 00:36

Attends, ce n'est pas toujours vrai quand même!

N'as-tu pas oublié un morceau de phrase, du genre :

Citation :
si et seulement si les composantes de ce couple sont des v.a.r indépendantes ?



Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 00:40

Effectivement, il faut rajouter l'indépendance !

Dons, si l'on suppose que \Large{X} et \Large{Y} sont indépendants, il y aurait l'égalité des fonctions \Large{f_{(X,Y)}=f_Xf_Y.
Ceci n'est pas le cas, donc \Large{X} et \Large{Y} ne sont pas indépendants.

Maintenant, je pense que c'est correct!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 00:54

Personnellement, ça me paraît juste!

Par contre je ne connais pas la formule permettant de calculer la densité de (U,V) en fonction de celle de (X,Y) et du jacobien, je te préviens!

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 00:57

\Large{h est clairement \Large{\mathcal{C}^1}.
Puisqu'il existe un et seul couple \Large{(u,v)} tel que \Large{u=\frac{x+1}{2} et \Large{v=\frac{y-x^2}{1-x^2^}, on déduit que \Large{h} est bijective.

On peut exprimer l'inverse, et montrer qu'il est aussi \Large{\mathcal{C}^1} (mais on va pas le faire ).

Le jacobien est donné par \Large{J(x,y)=\frac{-1}{2(x^2-1)}\neq 0

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 00:57

Citation :
Par contre je ne connais pas la formule permettant de calculer la densité de (U,V) en fonction de celle de (X,Y) et du jacobien, je te préviens!


Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 01:01



Ok pour ton jacobien!Mais peut-être la connais-tu, toi, cette formule!

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 01:02

On remarque que :

\Large{ (U,V)=h(X,Y) }

Donc :

\Large{ \mathbb{E}[(U,V)]=\mathbb{E}[h(X,Y)] }

Il existe bien une formule, puisque \Large{h} est mesurable, bornée!
Mais je ne la maitrise pas parfaitement!

C'est quelque chose du type
\Large{ \mathbb{E}[h(X,Y)]=\Bigint\Bigint_{\Delta^2}h(x,y)f(x,y)dxdy}

Posté par
Tigweg Correcteurre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 01:06

Lol mais qui parle d'espérance? On cherche la densité ici!

Posté par
H_aldnoerre : Loi uniforme sur un domaine 25-06-08 à 01:08

Ah oui tiens, c'est ça!

\Large{\mathbb{E}[h(X,Y)]=\Bigint\Bigint_{\mathbb{R}^2}h(x,y)f_{(X,Y)}(x,y)dxdy

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