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Matrices de rang 1
1/f un endomorphisme de Rn.Dmq f est de rang 1 ssi il existe x de Rn et une forme linéaire u, non nuls, tq pour tt t de Rn, f(t)=u(t).x
rang f=1 ssi dim Im f=1
dim Rn = dim ker f + dim Im f
calcul de ker f:
ker f={t tq f(t)=0}
={t tq u(t).x=0}
=...
Déterminer la matrice M associée à cet endomorphisme f ds la base canonique de Rn.
ici, je ne sais pas comment partir.
Considérer {ei} base de Rn.
f(ei)=u(ei)x
2/En déduire l'expression générale de M de rang 1 à l'aide du produit d'une matrice colonne X et d'une matrice ligne tY.
3/Etablir les relations qui lient les matrices colonnes X,X' et Y,Y' lorsqu'1 même matrice M de rang 1 est égale aux produits X.tY et X'.tY'.
Et pour déterminer la matrice associée?
on m'a bien donné 1 exple à expliciter avec x=ei base canonique de Rn
u=e*j base duale associée
Mais je ne vois pas!
Bye
comment trouver la matrice M?
j'ai essayé de voir avec l'exple:
x=ei si X est la matrice associée à x, X=In
u=e*j alors u(ei)=e*j(ei)=
ji dc je trouve aussi la matrice U=In.
Il doit y avoir une erreur mais où?
ensuite, il suffit de calculer f(ei) pour tt i
De+, rg f=1 
f(t) est un vecteur de Rn.
Bref, je suis complètement à la rue!!!
Il y a plusieurs méthodes d'après mes souvenirs...
la matrice de changement de base + l'expression analytique avec le th du rang: vec(e1,e2,e3)( etc etc)
Salut,
Puisque j'avais ouvert les hostilites dans le post reference ci-dessus par Victor, je reviens a la charge.
Tout est dit dans la phrase "il existe une forme lineaire u et un vecteur x tel que pour tout t, f(t) = u(t).x"
Rappelons que u(t) est un scalaire (un reel, ici).
Donc si je pose x = (x1,....,xn) (mais en colonne),
la matrice de f est comme cela:
(u(e1).x1 u(e2).x1 ..... u(en).x1)
(u(e1).x2 u(e2).x2 ..... u(en).x2)
(...................................................)
(u(e1).xn u(e2).xn ..... u(en).xn)
Bref, les colonnes sont toutes proportionnelles a x...
A=
biondo
on a donc
(u(e1) u(e2) ... u(en)) (x1)
M =(u(e1) ......... u(en)) (x2)
....................... . (..)
(u(e1) ......... u(en)) (xn)
ds mon exple, on a alors (e*1(e1) e*2(e2) .. e*n(en))=(1 1 ... 1)
(x1 x2 ... xn)= ?
mais comme x=ei, X ne peut plus être un vecteur. On obtient une matrice, non?
pfou est-ce que quelqu'un peut m'aider?
mon raisonnement est-il incompréhensible?
Bye
....
Par rapport à ce que j'ai indiqué, ta matrice M ne me plaît pas beaucoup...
C'est une factorisation que tu as faite?
Elle n'est pas correcte. On ne peut pas "sortir" le vecteur x de cette manière, en gardant une matrice de n sur n...
Je ne pense pas qu'on te demande plus que l'expression que j'ai indiquée. On voit bien que les colonnes sont toutes proportionnelles à x, qui est non nul par hypothèse... Si on ne le voit pas, on peut l'écrire en dessous en toutes lettres, comme je l'ai fait.
Je ne passerais pas par la base duale. On peut, mais je dirais qu'au final on retombe sur la même chose...
Voila...
A+
biondo
en effet, ma matrice M est fausse!!! J'ai fait n'importe quoi!
on a donc pour 2/
X= u(e1)
u(e2)
....
u(en)
et tY=(x1 x2 ... xn)
pour 3/ on a X.tY=X'.tY'
ssi X.tY-X'.tY'=0
ssi u(e1) u'(e1)
u(e2) . (x1 ... xn) - u'(e2) . (x'1... x'n) .... .....
.... ...
u(en) u'(en)
ssi ?
Attention a ce que tu fais...
je dirais plutot:
X = x1
x2
...
xn
et tY = (u(e1) u(e2) u(en))
Pour l'autre question, tu peux regarder ici: 
matrice
A+
biondo
1/ pour revenir à mon exple, ça me turlupine!!
x=(ei) pour tt i
tX=(e1 e2 ... en)
u=(e*j) pour tt j
f(e1)=u(e1).x=e*j(e1).x
tu(e1)=(1 0 ...0) c'est ici que j'hésite. On obtient bien ce vecteur?
que vaut-alors f(e1)?
tf(e1)=(
ei 0 ... 0)?
ça me semble louche!
2/ pour l'autre question, pourquoi peut-on lier xi = a x'i?
3/ Dmq tte matrice M de E est égale à une somme de matrices de rang 1.
pour celle-ci, si 1 matrice est de rg 1; alors la dim de l'image de l'endomorphisme associé vaut 1.
De plus, la matrice se décompose en pduit d'une matrice colonne et d'une matrice ligne.
je tourne en rond!!
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