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Mines MP 2013

Posté par
matheux14
15-03-23 à 00:07

Bonsoir,

Je m'exerce en traitant le sujet par là : Les mines : filière MP - Première épreuve - 2013

Merci d'avance.


Partie A :

1) Comme \varphi est bilinéaire, pour chaque x \in\mathbb{R}^n, l'application partielle y \mapsto \varphi(x, y) est linéaire. Par conséquent, il existe un unique vecteur u(x)\in\mathbb{R}^n tel que pour tout y\in\mathbb{R}^n, $\varphi(x,y)=<u(x),y>. De plus, u est linéaire car pour tout x, x'\in\mathbb{R}^n et tout \lambda\in\mathbb{R},


<u(\lambda x + x'), y> = \varphi(\lambda x + x', y) = \varphi(\lambda x, y) + \varphi(x', y) = \lambda \varphi(x,y) + \varphi(x',y) = \lambda <u(x),y> + <u(x'),y>.

On en déduit que u(\lambda x + x') = \lambda u(x) + u(x'), donc u est linéaire. De plus, \varphi(x,y)=<u(x),y>=<x,u(y)>, donc u est symétrique.

Soit (e_i)_{1\leq i\leq n} la base canonique de \mathbb{R}^n. Si i \neq j, on a \varphi(e_i,e_j)=<u(e_i),e_j>=0 car u(e_i) est orthogonal à tout vecteur de \mathbb{R}^n orthogonal à e_j, ce qui implique que \varphi est diagonalisable.

2) Soient a, b \in \mathbb{R}^{n*}. Pour tout (x, y)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n,

(a\otimes b)(x,y)=a(x)b(y) =\dfrac{1}{2}\left(a(x)b(y)+a(y)b(x)\right)+\dfrac{1}{2}\left(a(x)b(y) - a(y)b(x)\right) = \dfrac{1}{2}\left(a(x)b(y)+a(y)b(x)\right) + \dfrac{1}{2}\left((a(x)b(y) - a(y)b(x)) e_1, e_1\right) = \dfrac{1}{2}\left(a(x)b(y)+a(y)b(x)\right) + \dfrac{1}{2}\left<a\otimes b(x,y)e_1,e_1\right>.

On en déduit que a\otimes b=\dfrac{1}{2}(a\otimes b+b\otimes a)+\dfrac{1}{2}(a\otimes b-b\otimes a)e_1\otimes e_1.

On peut alors utiliser cette expression pour montrer que tout vecteur propre de \varphi associé à la valeur propre 0 est combinaison linéaire de produits tensoriels de la forme e_i\otimes e_j+e_j\otimes e_i avec i < j. On en déduit que \varphi est diagonalisable en remarquant que toute base orthogonale de \mathbb{R}^n formée de produits tensoriels de la forme e_i\otimes e_j+e_j\otimes e_i avec i < j diagonalise \varphi.

Pour voir cela, supposons que \lambda = 0 est une valeur propre de \varphi et soit v un vecteur propre correspondant. On écrit v comme une combinaison linéaire de produits tensoriels de la forme e_i\otimes e_j+e_j\otimes e_i avec i < j, c'est-à-dire :

v = \sum_{i<j}\alpha_{ij}(e_i\otimes e_j+e_j\otimes e_i)
alors :

\varphi(v) =\sum_{i<j}\alpha_{ij}\varphi(e_i\otimes e_j+e_j\otimes e_i) =\sum_{i<j}\alpha_{ij}(e_i\otimes e_j-e_j\otimes e_i) =\sum_{i<j}\alpha_{ij}([e_i,e_j]) =0

puisque [e_i,e_j]=0 pour tout i,j. Ainsi, tout vecteur propre de \varphi associé à la valeur propre 0 est combinaison linéaire de produits tensoriels de la forme e_i\otimes e_j+e_j\otimes e_i avec i<j.

De plus, on remarque que toute base orthogonale de \mathbb{R}^n formée de produits tensoriels de la forme e_i\otimes e_j+e_j\otimes e_i avec i<j diagonalise \varphi. En effet, si \{v_1,\ldots,v_n\} est une telle base, alors on peut écrire chaque v_k comme une combinaison linéaire de produits tensoriels de la forme e_i\otimes e_j+e_j\otimes e_i avec i<j, et donc \varphi(v_k)=\lambda_k v_k pour certains \lambda_k. Ainsi, la matrice de \varphi dans cette base est diagonale.

En conclusion, \varphi est diagonalisable et toute base orthogonale de \mathbb{R}^n formée de produits tensoriels de la forme e_i\otimes e_j+e_j\otimes e_i avec i<j diagonalise \varphi.

Posté par
matheux14
re : Mines MP 2013 15-03-23 à 08:03

3) Soit r le rang de \varphi. Comme \varphi est de rang 1, on a r = 1. Soit (e_1, \dots, e_n) une base de \mathbb{R}^n telle que la matrice (\varphi(e_i,e_j))_{1\leq i,j\leq n} soit diagonale avec une unique valeur propre non nulle \lambda. Soit f \in \mathbb{R}^{n*} la forme linéaire définie par f(e_i)=\sqrt{\lambda}. Alors pour tout i,j\in \{1, \dots, n\}, on a \varphi(e_i,e_j)=\lambda \delta{ij}=f(e_i)f(e_j), donc \varphi=\pm f\otimes f.

4) Soit \varphi une forme bilinéaire symétrique de rang 1. D'après la question 3, il existe une forme linéaire f \in \mathbb{R}^{n*} telle que \varphi = \pm f \otimes f. On a alors

\varphi(v,v) = \pm f(v)^2 pour tout v \in \mathbb{R}^n. Si \varphi est non nulle, alors f est non nulle et donc \pm f(v)^2 est non nul pour tout v \neq 0. Cela implique que \varphi est définie positive ou définie négative, donc \varphi est plate.

5) On sait que \varphi est de rang \leq 2 car elle est plate. Supposons que \varphi est de rang 1. Alors, d'après la question 3), il existe une forme linéaire f \in \mathbb{R}^{n*} telle que \varphi = \pm f \otimes f. Comme \varphi est plate, on a \varphi(v, v) = 0 pour tout v \in \mathbb{R}^n. Donc \pm f(v)^2 = \varphi(v, v) = 0 pour tout v \in \mathbb{R}^n, ce qui implique que f = 0. Ainsi, \varphi = 0, ce qui contredit l'hypothèse que \varphi est non nulle. On en déduit que \varphi est de rang 2.

Pour montrer que \varphi est de rang 2, il suffit de montrer que la matrice (\varphi(v, w))_{v, w} est inversible. On peut supposer sans perte de généralité que \varphi est non dégénérée, c'est-à-dire que pour tout vecteur v \neq 0, il existe un vecteur w tel que \varphi(v,w) \neq 0. Sinon, on peut restreindre l'espace de départ de \varphi à un sous-espace de codimension 1 où \varphi est non dégénérée.

Soit M la matrice (\varphi(e_i,e_j))_{i,j}(e_i) est la base canonique de \mathbb{R}^n. Comme \varphi est plate, la matrice M est symétrique et vérifie \operatorname{Tr}(M) = \sum_i \varphi(e_i,e_i) = 0 car \varphi est non dégénérée. On en déduit que M est diagonalisable et que ses valeurs propres sont 0 et -\operatorname{Tr}(M) = 0. Ainsi, la matrice M est semblable à une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont soit 0 soit 1. On en déduit que la matrice (\varphi(v, w))_{v, w} est semblable à la matrice diagonale (\varphi(e_i, e_j))_{i, j}, donc elle est inversible, ce qui prouve que \varphi est de rang 2.

Finalement, on a montré que si \varphi est une forme bilinéaire symétrique plate non nulle, alors \varphi est de rang 2.

Posté par
GBZM
re : Mines MP 2013 15-03-23 à 08:27

Bonjour,
Je me suis arrêté à la fin de la première question. La démonstration du fait que \varphi est diagonalisable ne va pas du tout.

Posté par
matheux14
re : Mines MP 2013 15-03-23 à 16:36

Déduire que l'application \varphi est diagonalisable :

On a montré que \varphi est symétrique.

Soit (\lambda_i)_{1\leq i\leq n} les valeurs propres de \varphi avec \lambda_1\geq\lambda_2\geq \dots \geq \lambda_n. On a alors \varphi(x,x)=\sum{i=1}^n \lambda_i x_i^2 pour tout x\in \mathbb{R}^n. Soit x\in \mathbb{R}^n tel que |x|=1. On a alors \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2\leq \lambda_1, donc \lambda_1 est la norme opérateur de \varphi sur l'espace des vecteurs unitaires de \mathbb{R}^n.

On montre maintenant que \lambda_1 est non nul. Si \lambda_1=0, alors pour tout vecteur x\in \mathbb{R}^n, on a \varphi(x,x)=0, donc \varphi est nulle. Mais on a supposé que \varphi était non nulle, donc \lambda_1 est non nul.

Soit maintenant v_1 un vecteur propre unitaire associé à la valeur propre \lambda_1. On peut compléter v_1 en une base orthonormale (v_1,v_2,\dots,v_n) de \mathbb{R}^n. Soit P la matrice de passage de la base canonique (e_1, e_2, \dots, e_n) à la base (v_1, v_2, \dots, v_n). Alors la matrice de \varphi dans la base (v_1,v_2,\dots,v_n) est diagonale avec \lambda_1 sur la diagonale, donc la matrice de \varphi dans la base canonique (e_1,e_2,\dots,e_n) est P^T\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)P. Ainsi, \varphi est une combinaison linéaire de formes bilinéaires de la forme \pm e_i \otimes e_i avec i=1 ou i=2, ce qui prouve la première partie de la question : \varphi est donc diagonalisable.

Posté par
GBZM
re : Mines MP 2013 16-03-23 à 20:31

Ça ne va pas mieux.
Ce que tu écris ressemble à une réponse de ChatGPT (ce n'est pas un compliment). Par exemple il n'y a aucune raison pour que les valeurs propres soient positives, et donc ton affirmation que \lambda_1 est la norme d'opérateur est erronnée. Il y a ensuite beauxcoup de choses à redire.
Ne connais-tu aucun résultat sur les matrices symétriques réelles en relation avec la diagonalisabilité ?

Posté par
matheux14
re : Mines MP 2013 16-03-23 à 21:09

Bien sûr, une matrice symétrique réelle est diagonalisable.

Posté par
matheux14
re : Mines MP 2013 16-03-23 à 21:14

Citation :
Ce que tu écris ressemble à une réponse de ChatGPT (ce n'est pas un compliment).


Ah

Posté par
matheux14
re : Mines MP 2013 16-03-23 à 21:31

Il me semble que ça marche en utilisant le théorème spectacl..

Posté par
matheux14
re : Mines MP 2013 16-03-23 à 21:31

Oups plutôt Spectral.

Posté par
matheux14
re : Mines MP 2013 16-03-23 à 21:39

Le théorème spectral stipule que toute matrice symétrique est diagonalisable par une matrice orthogonale.

Donc si on arrive à montrer qu'il existe une matrice orthogonale P telle que P^T A P = D, D matrice diagonale, on aura bien prouvé que phi est diagonalisable.

Posté par
matheux14
re : Mines MP 2013 17-03-23 à 07:20

<\cdot> est un produit scalaire sur \R^n, il est trivial que l'application u ainsi définie est un endomorphisme sur R^n.

\forall (x,y) \in \R^n \varphi(x, y)= \varphi(y, x),  <u(x), y> = <x, u(y)> \Longrightarrow u est symétrique et est orthogonalement diagonalisable, il existe donc \beta(e_i) avec i \in [1, n] une base orthonormée de \R^n formée de vecteurs propres de u.

Posons u(e_i)= \lamda_i e_i pour i \in [1, n], alors \varphi(e_i, e_j) = <u(e_i), e_j> = \lambda_i <e_i, e_j> = \lambda_i \gamma_{i,j} \Longrightarrow \varphi est diagonalisable.

Posté par
GBZM
re : Mines MP 2013 17-03-23 à 09:13

C'est quoi \beta(e_i) ?? C'est quoi \gamma_{i,j} ??

Posté par
matheux14
re : Mines MP 2013 17-03-23 à 13:37

\beta(e_i) est la base orthonormée et \gamma_{i,j} est là matrice où i, j part de 1 à n.

Posté par
GBZM
re : Mines MP 2013 17-03-23 à 14:36

Ta notation \beta(e_i) ("beta de e indice i" n'a pas de sens.
Tu peux écrire "une base orthonormée \mathcal B=(e_i)_{i=1,\ldots,n)". Ça a du sens. Une base est une famille de vecteurs.
Pour ce qui est de \gamma_{i,j},  ta réponse ne colle pas le dernier paragraphe de ton avant-dernier message. Si tu avais écrit \delta_{i,j} (delta de Kronecker), là ça aurait été compréhensible.

Écris moins, mais écris mieux. N'affirme que des choses dont tu es sûr et que tu comprends parfaitement

Posté par
matheux14
re : Mines MP 2013 17-03-23 à 22:19

Vous avez parfaitement raison.



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