Bonsoir,
Je m'exerce en traitant le sujet par là : Les mines : filière MP - Première épreuve - 2013
Merci d'avance.
Partie A :
1) Comme est bilinéaire, pour chaque
, l'application partielle
est linéaire. Par conséquent, il existe un unique vecteur
tel que pour tout
. De plus,
est linéaire car pour tout
et tout
,
On en déduit que , donc
est linéaire. De plus,
, donc
est symétrique.
Soit la base canonique de
. Si
, on a
car
est orthogonal à tout vecteur de
orthogonal à
, ce qui implique que
est diagonalisable.
2) Soient . Pour tout
,
On en déduit que .
On peut alors utiliser cette expression pour montrer que tout vecteur propre de associé à la valeur propre 0 est combinaison linéaire de produits tensoriels de la forme
avec
. On en déduit que
est diagonalisable en remarquant que toute base orthogonale de
formée de produits tensoriels de la forme
avec
diagonalise
.
Pour voir cela, supposons que est une valeur propre de
et soit
un vecteur propre correspondant. On écrit
comme une combinaison linéaire de produits tensoriels de la forme
avec
, c'est-à-dire :
alors :
puisque pour tout
. Ainsi, tout vecteur propre de
associé à la valeur propre 0 est combinaison linéaire de produits tensoriels de la forme
avec
.
De plus, on remarque que toute base orthogonale de formée de produits tensoriels de la forme
avec
diagonalise
. En effet, si
est une telle base, alors on peut écrire chaque
comme une combinaison linéaire de produits tensoriels de la forme
avec
, et donc
pour certains
. Ainsi, la matrice de
dans cette base est diagonale.
En conclusion, est diagonalisable et toute base orthogonale de
formée de produits tensoriels de la forme
avec
diagonalise
.
3) Soit le rang de
. Comme
est de rang 1, on a
1. Soit
une base de
telle que la matrice
soit diagonale avec une unique valeur propre non nulle
. Soit
la forme linéaire définie par
. Alors pour tout
, on a
, donc
.
4) Soit une forme bilinéaire symétrique de rang 1. D'après la question 3, il existe une forme linéaire
telle que
. On a alors
pour tout
. Si
est non nulle, alors
est non nulle et donc
est non nul pour tout
. Cela implique que
est définie positive ou définie négative, donc
est plate.
5) On sait que est de rang
car elle est plate. Supposons que
est de rang 1. Alors, d'après la question 3), il existe une forme linéaire
telle que
. Comme
est plate, on a
pour tout
. Donc
pour tout
, ce qui implique que
. Ainsi,
, ce qui contredit l'hypothèse que
est non nulle. On en déduit que
est de rang 2.
Pour montrer que est de rang 2, il suffit de montrer que la matrice
est inversible. On peut supposer sans perte de généralité que
est non dégénérée, c'est-à-dire que pour tout vecteur
, il existe un vecteur
tel que
. Sinon, on peut restreindre l'espace de départ de
à un sous-espace de codimension 1 où
est non dégénérée.
Soit la matrice
où
est la base canonique de
. Comme
est plate, la matrice
est symétrique et vérifie
car
est non dégénérée. On en déduit que
est diagonalisable et que ses valeurs propres sont 0 et
. Ainsi, la matrice
est semblable à une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont soit 0 soit 1. On en déduit que la matrice
est semblable à la matrice diagonale
, donc elle est inversible, ce qui prouve que
est de rang 2.
Finalement, on a montré que si est une forme bilinéaire symétrique plate non nulle, alors
est de rang 2.
Bonjour,
Je me suis arrêté à la fin de la première question. La démonstration du fait que est diagonalisable ne va pas du tout.
Déduire que l'application est diagonalisable :
On a montré que est symétrique.
Soit les valeurs propres de
avec
. On a alors
pour tout
. Soit
tel que
. On a alors
, donc
est la norme opérateur de
sur l'espace des vecteurs unitaires de
.
On montre maintenant que est non nul. Si
, alors pour tout vecteur
, on a
, donc
est nulle. Mais on a supposé que
était non nulle, donc
est non nul.
Soit maintenant un vecteur propre unitaire associé à la valeur propre
. On peut compléter
en une base orthonormale
de
. Soit
la matrice de passage de la base canonique
à la base
. Alors la matrice de
dans la base
est diagonale avec
sur la diagonale, donc la matrice de
dans la base canonique
est
. Ainsi,
est une combinaison linéaire de formes bilinéaires de la forme
avec
ou
, ce qui prouve la première partie de la question :
est donc diagonalisable.
Ça ne va pas mieux.
Ce que tu écris ressemble à une réponse de ChatGPT (ce n'est pas un compliment). Par exemple il n'y a aucune raison pour que les valeurs propres soient positives, et donc ton affirmation que est la norme d'opérateur est erronnée. Il y a ensuite beauxcoup de choses à redire.
Ne connais-tu aucun résultat sur les matrices symétriques réelles en relation avec la diagonalisabilité ?
Le théorème spectral stipule que toute matrice symétrique est diagonalisable par une matrice orthogonale.
Donc si on arrive à montrer qu'il existe une matrice orthogonale telle que
, D matrice diagonale, on aura bien prouvé que phi est diagonalisable.
est un produit scalaire sur
, il est trivial que l'application
ainsi définie est un endomorphisme sur
.
est symétrique et est orthogonalement diagonalisable, il existe donc
avec
une base orthonormée de
formée de vecteurs propres de
.
Posons pour
, alors
est diagonalisable.
Ta notation ("beta de e indice i" n'a pas de sens.
Tu peux écrire "une base orthonormée ". Ça a du sens. Une base est une famille de vecteurs.
Pour ce qui est de , ta réponse ne colle pas le dernier paragraphe de ton avant-dernier message. Si tu avais écrit
(delta de Kronecker), là ça aurait été compréhensible.
Écris moins, mais écris mieux. N'affirme que des choses dont tu es sûr et que tu comprends parfaitement
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