Bonsoir,

Tu dérives deux fois.
Le point d'inflexion annule la dérivée seconde en lui faisant changer de signe.
Je te conseille d'écrire la forme générale avec des paramètres pour dériver...

A vue de nez,  dans ta formule  a + b/exp(-c(t-T))
... il semblerait que le paramètre  T  donne  le point d'inflexion que tu cherches.
A vérifier... Mais si T est en jours cela semble coller avec tes deux courbes...

T1 = 51.32
T2 = 49.96

un grand merci à vous ledino vous aide est précieuse.

votre aide est précieuse

on ce qui concerne le dérivé il y a une éternité que je n'est pas appliqué cette fonction j'ai vraiment oublié pouvez vous calculez pour moi. (sachant que l'élongation des pousses est fonction du temps donc du nombre de jours)  je doit déterminé également le taux de croissance et la vitesse de croissance durant la phase de croissance exponentielle (entre 15 février et 30 février d'après la courbe)

merci d'avance pour votre aider

si j'ai bien compris T1= 51,32 de la première courbe sa correspond au nombre de jours à lequel j'ai le point d'inflexion et donc je doit déterminer la vitesse de croissance en ce point.  

Pour avoir la vitesse, il suffit de dériver une seule fois.
Puis d'appliquer cette dérivée en Ti : le temps d'inflexion (qui annule la dérivée seconde en changeant son signe).

ok merci beaucoup

j'ai calculé le taux de croissance et j'ai fait les dérivés c'est juste que j'ai oublié un peu les dérivées mais sa été une occasion pour replonger. c'est ok.

à bientôt
et merci encore

Y'(T)= - bc exp(b(T-m)) / ( 1 +exp(b(T- m))²
Y ' ' (T) = -bc.  b  exp(b(T-m)) (1+exp(b(T-m))² - exp(b(T-m))2bexp(b(T-m))(1+exp(b(T-m))  /  (1+exp(b(T-m))⁴
               = -b²c  exp(b(T-m)) (1 - exp(b(T-m)) / ( 1+exp( b(T-m))³
Y ' ' ( T ) =0 implique exp(b(T-m)) = 1 d'où T-m = 0 et donc T = m
Y ' '(T ) change de  signe  au voisinage de T=m ,le point   ( m , Y ( m ) ) est donc un point d'inflexion . La vitesse en ce point = Y ' ( m )= -bc/4

Si tu veux poster tes calculs de dérivées pour vérification, tu peux le faire.
On te dira si c'est OK...

Ah ça c'est marrant !
On a posté pile poil au même moment sur la même idée !

Je ne peux pas regarder ça tout de suite (je vais m'absenter).
Mais promis je vérifie ce soir ou demain...

ok merci

OK donc je viens de regarder tes calculs.
Ca me semble impeccable.
Tu n'as pas pris les mêmes notations que moi : tu as échangé b et c, et tu as pris b négatif... Mais OK (du reste ma formule comportait une erreur, il manque +1 au dénominateur, mais peu importe).
Avec tes notations :
a  est la valeur en moins l'infini (négative)
a+c  est la valeur en + l'infini.
c  est donc la progression de y entre - l'infini et + l'infini.

On a bien l'inflexion pour T=m.
Et à ce moment la vitesse y' est maximale avec pour valeur  V(m) = -cb/4  (positive car b<0).
Y(m) = a + c/2    donc à l'inflexion (T=m), on a fait la moitié du chemin qui va de  a  vers  a+c.

En posant   b = -1/tau :
En démarrant la courbe à la date T0 telle que y(T0) = 0 :  T0 = m - tau*ln(-c/a - 1)
Et la vitesse max sera  V*=c/(4*tau)

2*tau est donc la durée qui permet de passer de 0 à c/2 à vitesse Vmax.
On peut donc construire la pente à l'inflexion grâce à 2*tau reporté sur l'axe horizontal...
... en partant de l'inflexion I (m ; a+c/2)

Sauf erreur ...

très bien merci,

Je suis contente de cet échange fructueux, je vais pouvoir terminé mon article de thèse.

A bientôt

Bonjour,

En toute rigueur, pour un article de thèse, il faut que tu justifies le choix de la courbe que tu as retenue.

Dans l'idéal, si cette courbe est consensuelle pour la problématique traitée, il suffit de rappeler pourquoi (d'autres ont déjà expliqué ce choix). Sinon, c'est à toi de donner une justification.

Toujours dans l'idéal, si le phénomène observé est régi instantanément par une  équation différentielle basée sur un modèle de comportement, alors en intégrant cette équation tu es supposée trouvée ta formule. On retrouve cette approche en biologie ou en marketing notamment, lorsque des cellules ou des comportements d'achats sont stimulés par des variables d'état et limités ou freinés par d'autres...

L'intérêt d'avoir une justification théorique à ta formule, c'est que celle-ci a dans ce cas plus de chances d'être juste, robuste et significative dans ses paramètres.

La justesse, tu peux la mesurer avec la qualité d'ajustement (R²), ou mieux avec la p-value de la régression non linéaire utilisée pour l'ajustement. Le nombre de points joue évidemment beaucoup. Ajuster une courbe de dix points avec une formule à 10 paramètres c'est faire un lissage technique mais qui n'a pas de signification.

La robustesse tu peux la jauger de différente manières. C'est délicat. Une solution qui ne coûte pas très cher consiste à bruiter les données en entrée ou à les bootstraper (retirer des valeurs arbitrairement), pour observer la stabilité du modèle (variation des coefficients).

La significativité des paramètres c'est ce qui fait qu'ils ont un "sens". Par exemple, a est la limite infinie à gauche (cela a-t-il un sens pour le modèle étudué ?). (a+c) est la limite à droite : saturation de la cible (limite infinie à droite). Et b est un paramètre de vitesse pour l'ensemble de la courbe : cela a-t-il un sens ?

Plus les paramètres ont du sens, plus ils ont de chance de porter une information pertinente et significative.

Le risque avec un modèle choisi pour ses qualités pures d'ajustement (R²) est d'aboutir à une formule vide de sens et dont les coefficients sont instables. Si par exemple une toute petite modification des mesures induit une grande variation du paramètre de vitesse, et que ta recherche est axée sur l'interprétation et la comparaison des vitesses, tu risques de faire n'importe quoi.

Bon ici, l'ajustement semble tellement bon que ce risque est peut-être à relativiser. Mais en principe tu dois te poser ce genre de  question. Pourquoi avoir choisi CETTE courbe et pas une autre courbe avec une forme de S aplati comme il en existe beaucoup... Et est-ce que chaque paramètre est légitimé ? ... Chaque paramètre introduit artificiellement améliore le R² mais crée potentiellement du sur-apprentissage (donne de l'importance à des configurations qui n'ont pas de sens et ne sont pas généralisables).

Dans le même ordre d'idée, si tu avais plus de points, ou si tu as une justification forte pour certains des paramètres (limite à gauche et à droite, vitesse à l'inflexion)... et que ton modèle de base soit supposé très robuste et représentatif, tu peux aussi songer à l'améliorer en introduisant de nouveaux paramètres capables de capter d'autres effets.

Par exemple, avoir une limite à droite qui varie dans le temps, parce que la cible elle-même évolue. Dans ce cas, tu aurais une expression avec un c = c(T). Une expression linéaire pour c(T) te donnerait une asymptote oblique au lieu d'être horizontale.

salut,

d'après la bibliographie la croissance des pousses d'agrumes suit une courbe sigmoïde. donc j'ai fait une analyse statistique de la variance moyennant (SAS)( 9 pieds scindés en trois blocs aléatoires complets à raison de trois coursonnes/pied donc 27 observations par traitement par orientation et par date)  et j'ai eu une interaction hautement significative de l'effet traitement, orientation de la canopée et la date sur l'élongation des pousses et la vitesse. ensuite moyennant STAISTICA j'ai cherché un model stable et j'ai trouvé le model compertz très stable sachant que se model s'applique bien au courbe de croissance.  

de plus ces mesures sont prises sur trois années d'expérimentation donc 27*3 observations

votre analyse est très intéressante je vais en tenir compte. merci leDino.

Bonjour,

Pour information le modèle que tu as retenu n'est pas vraiment un modèle de Gompertz, mais plutôt un modèle de Verhulst, qui produit une courbe logistique, déformation affine d'une courbe sigmoïde.

Le modèle de Verhulst est la solution d'une équation différentielle qui lie la vitesse  N'(t) = dN/dt  de progression du phénomène  (biologique, économique, marketing...)  au phénomène lui même, mesuré par  N(t).

En dérivant l'expression de ton modèle et en étudiant la courbe de  N'(t),  tu peux justifier :
- d'une phase exponentielle,  au "démarrage" lorsque N'(t) est proportionnelle à N(t),
- d'une phase asymptotique,  à la "fin" lorsque N'(t) tend vers 0,
- d'une phase d'inflexion,  au milieu,  qui permet de transiter d'un régime à l'autre.



Les coefficients prennent une signification simple :
N0 = N(0),
K = capacité du milieu  (ou cible saturée en marketing)
r (ou autre nom) = paramètre de vitesse qui permet de situer le point d'inflexion

Des articles de référence :
Verhulst :  
Logistiques :  
Sigmoïde :  

Un cours très pédagogique et détaillé sur la "biologie des exponentielles et sigmoïdes" :  
Avec explications et justifications sur Malthus, Verhuist (logistiques) et Gompertz...

Possibilité :
Ajuster tes courbes avec plusieurs formes (donc plusieurs modèles).
Montrer que ton modèle (Verhulst) produit toujours le meilleur R²,  à nombre équivalent de paramètres...
... ce qui le rend plus légitime, surtout si il y a plusieurs courbes pour lesquelles le meilleur ajustement est toujours la même forme (logistique).

Une fois cette observation établie, expliquer en quoi l'équation différentielle correspondant au modèle retenu répond intelligemment au contexte. Et expliquer la signification des paramètres.

Au passage, Verhulst se modélise facilement :
Les valeurs max atteintes et stabilisées fournissent K.
Une linéarisation de l'expression de N(t) permet de trouver les autres coefficients par simple régression linéaire.
D'où la possibilité d'avoir aussi un intervalle de confiance sur chaque coefficient.
Tout ça est expliqué dans les articles en référence.

c'est ok,  lundi  je vais essayé de tester le model de verhulst avec mes données et le comparé avec le model de compertez.

merci et à bientôt  

Attention je crains qu'il n'y ait malentendu :
L'image que tu as postée avec deux suites de points régressées, correspond à des courbes "logistiques" de Verhulst.

Je n'ai aucune idée de ce qui convient le mieux entre les différents choix qui s'offrent à toi.
C'est à toi de faire ce choix selon le contexte de ce que tu étudies et selon la qualité des ajustements observés (R²).

Sur l'image postée, l'ajustement semble excellent...
Pour les deux courbes...
Et ces deux courbes sont des Verhulst... pas des Gompertz.
OK ?

la première figure est réalisée avec mes données par excel
la deuxième figure est obtenue par le model de compertez par le logiciel de statistica et le model est très stable.  

la figure est dupliquée dans le message mais c'est la même

le model de compertez explique bien les courbes de croissance des tissus animales et végétales mais je peut tester un autre model pour faire une comparaison.

de plus Lorsque on compare le modèle de Gompertz au modèle de Verhulst, normalement on observe une progression similaire (croissance exponentielle) cependant dans le cas du modèle de Gompertz, elle est plus rapide.

En plus, les modèles sont utilisés dans la modélisation de la croissance des organismes et des tissus. j'ai déjà essayé compertez je vais testé le second.

Ce que j'essaie de te dire, c'est que les formules affichées sur tes images NE SONT PAS des Gompertz.
Ce sont des logistiques, comme définies par Verhulst.
Gompertz a une autre expression que celle là.

Tu piges ?

salut,

En effet, ces équations sont celles de verhulst. je me suis trompée la figure 1 est réalisée par les équations verhulst.

j'ai testé un autre model (très stable) et je n'arrive pas reconnaître le nom (2ème figure). pouvez-vous les reconnaître.

2ème figure

Cette deuxième figure correspond à une VRAIE courbe logistique, sans constante ajoutée; telle que définie par Verhulst semble-t-il.

Ce modèle a pratiquement la même qualité d'ajustement avec un paramètre en moins. Donc il semble préférable de le retenir... Surtout s'il correspond à un vrai Verhulst.

et donc comment déterminer T au point d'inflexion ainsi que la vitesse?

équation Y(T)= a/(1 + exp^{(-rT + b)})

je dérive encore une fois?

C'est exactement la même chose : la première famille de courbes que tu as montrées est identique à la deuxième famille, à une constante ajoutée près. Lorsque tu dérives, cette constante disparait.

Ajouter une constante à simplement pour effet de décaler la courbe vers le haut (constante positive) ou vers le bas (constante négative). Recourir à cette constante introduit un degré de liberté supplémentaire (4 coefficients au lieu de 3). Si la constante n'a pas de signification et ne peut être justifiée par la dynamique des phénomènes biologiques observées, elle est "artificielle" et ne sert pas à grand chose. Elle donnera peut-être une courbe "technique" qui passe un poil plus près des points expérimentaux... mais cette proximité sera artificielle et ne sera donc pas généralisable.

ok merci

Y ' (T) = ar exp(-rT+b)/(1+exp(--rT+b)²
Y ' ' (T) = a r² exp(--rT+b) ( exp(--rT+b) - 1 )/ ( 1+exp(--rT+b )³
Y' ' (T)=0 implique exp(--rT+b)-1=0ce qui donne --rT+b=0 d'où T=b/r
Le point d'inflexion est ( b/r , a/2) ,la vitesse en ce point est Y ' ( b/r)= ar/4

"Aichek" comme on dit en Tunisie

A tes souhaits ...

traduction "longue vie"

C'est un joli souhait. Aichek à toi aussi !