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Module d'un complexe

Posté par
SalmaEl30 13-09-17 à 10:17

Bonjour,

Soient a et b deux nombres complexes et b non nul.
Pouvez-vous m'expliquer cette équivalence, s'il vous plaît?

\left| 1 + \frac{a}{b}\right| = 1 + \left|\frac{a}{b}\right| \Leftrightarrow Re (\frac{a}{b}) = \left|\frac{a}{b}\right|

merci d'avance

Posté par
Razesre : Module d'un complexe 13-09-17 à 10:27

\left| 1 + \dfrac{a}{b}\right| = 1 + \left|\dfrac{a}{b}\right| \Leftrightarrow \Re \left (\dfrac{a}{b}  \right ) = \left|\dfrac{a}{b}\right|

Ce qui revient à démontrer que:

\left | 1+z \right |=1+\left | z \right |\Leftrightarrow \Re\left ( z \right )=\left | z \right |;   avec:  z=\dfrac{a}{b}

Posté par
Razesre : Module d'un complexe 13-09-17 à 10:32

\left | 1+z \right |^2=\left (1+\left | z \right |  \right )^2


\forall Z\in\mathbb{C};\left | Z \right |^2=Z\overline{Z}

Posté par
SalmaEl30re : Module d'un complexe 13-09-17 à 10:34

Merci!

Posté par
Razesre : Module d'un complexe 13-09-17 à 10:37

Tu y arrives?

Posté par
carpediemre : Module d'un complexe 13-09-17 à 20:35

salut

sinon allez voir Recurrence ... après avoir cherché ...

Posté par
Razesre : Module d'un complexe 13-09-17 à 21:18

Razes @ 13-09-2017 à 10:32

\left | 1+z \right |^2=\left (1+\left | z \right |  \right )^2

\forall Z\in\mathbb{C};\left | Z \right |^2=Z\overline{Z}

\\ \left | 1+z\right |^2=\left (1+\left | z\right |\right )^2\Leftrightarrow (1+z)(1+\overline{z})=\left (1+\left | z\right |\right )^2 \Leftrightarrow \\ \\ z\overline{z}+z+\overline{z}+1=\left | z\right |^2+2\left | z\right |+1\Leftrightarrow z+\overline{z}=2\left | z\right |\Leftrightarrow \Re(z)=\left | z\right |

Donc: z est réel positif


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