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Niveau Licence Maths 1e ann
Montrer qu'une application est surjective
Posté par Thais13
Bonjour !
J'aurais besoin d'aide pour répondre à une question (qui vient à la suite d'autres questions dans un même exercice).
Voici le sujet et le résultats des questions de l'exercice auxquelles j'ai déjà répondu :
On considère E un ensemble infini. Soit A ⊂ E. On suppose qu'il existe une application f : E → A injective. Le but de cet exercice est de montrer qu'il existe alors une bijection entre A et E. On rappelle que la notation C(E)X désigne le complémentaire de X dans l'ensemble E.
Soit (B(n)) n∈N la famille d'ensembles de E définie par B(0) = C(E)A
∀n ∈ N B(n+1) = f(B(n)).
On pose B = U(union) B(n) pour tout n∈N
J'ai déjà montré :
-- pour tout n ∈ N∗, B(n) ⊂ A
-- C(E)B ⊂ A
-- f(B) ⊂ A ∩ B
Soit g : E → A définie par :
g(x) = f(x) si x ∈ B
g(x) = x si x n'appartient pas B
-- Soit y ∈ A ∩ B, y admet un antécédent par g.
Mon problème est de montrer que g : E → A est surjective.
Je ne sais pas trop comment démarrer... Je mets tout de même ici ce que j'ai commencé :
Montrons que g : E → A est surjective.
Soit y ∈ A. Montrons qu'il existe x ∈ E tel que g(x) = y.
-- Supposons que x ∈ B, alors y = g(x) = f(x). Comme f(B) ⊂ A ∩ B, pour tout y' ∈ A ∩ B, il existe x ∈ B tel que f(x) = y'.
(Mais là il me manque les y'' ∈ A\B)
-- Supposons que x n'appartient pas B, alors y = g(x) = x.
Comme C(E)B ⊂ A, x = y ∈ A.
Mais je vois bien que ça ne va pas et j'aimerais que quelqu'un m'explique quelles hypothèses il faut utiliser et me donner des pistes pour résoudre cette question.
Merci d'avance !
salut
pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ...
soit et
injective ...
si f : E --> A est injective alors
si alors A = E
Ah oui ! Il me semblait bien que A et E étaient égaux. Donc on peut écrire g : A --> A. Mais comment montrer que g est surjective ?
Si X et Y sont des parties d'un ensemble Z j'écris ( comme beaucoup ) X\Y à la place de C(X)Y .
On a donc ici un ensemble E , A une partie de E et f : E 
E une application injective telle que f(E) 
A .
On pose , pour tout entier n 
0 , B(n) = fn(E \ A) ( f0 désignant classiquement IdE on a donc B(0) = E \ A ) .
B(0) et A étant disjoints , on a si n 
* , B(0) 
B(n) = 
car contenu dans B(0) f(E) lui même contenu dans B(0) A .
Il en résulte , f étant injective , que si ( p ,q) ² vérifie p 
q on a : B(p) B(q) =
Autrement dit les B(k) ( k ) forment une partition de leur réunion qu'on désigne par B .
On propose de définir g : E E par :
g(x) = x si x 
B et
g(x) = f(x) si x B .
Mais alors g(E) = (E \ B)
B(1) B(2) ...B(n)....= E \ B(0) = E \ (E \ A ) = A .
Ceci montre que g réalise une surjection de E sur A ou encore que ( E , g , A)
Bonjour,
@Etniopal : Il me semble qu'il y a plus simple. En effet, remarquons que, de , l'on déduit que
. D'autre part,
et
, de sorte que, par définition de la fonction
définie sur
, l'on a
A noter que la relation nous indique que la fonction
est, par recollement, également injective. La fonction
est donc bijective, d'où le résultat attendu.
La fonction dont je parle est celle définie le 23-12-17 à 16:02, donc celle définie sur
à valeurs dans
(et pas
)...
Il est dommage que ( par souci de simplicité !) on ne remarque pas que les B(k) sont 2 à 2 disjoints .
Bonjour Etniopal,
Même si je trouve le résultat intéressant, en quoi est-il vital de le mentionner pour l'exo dont il est question ici ?