Si X et Y sont des parties d'un ensemble Z j'écris ( comme beaucoup ) X\Y à la place de C(X)Y .
On a donc ici un ensemble E , A une partie de E et f : E E une application injective telle que f(E) A .
On pose , pour tout entier n 0 , B(n) = fn(E \ A) ( f0 désignant classiquement IdE on a donc B(0) = E \ A ) .
B(0) et A étant disjoints , on a si n * , B(0) B(n) = car contenu dans B(0) f(E) lui même contenu dans B(0) A .
Il en résulte , f étant injective , que si ( p ,q) ² vérifie p q on a : B(p) B(q) =
Autrement dit les B(k) ( k ) forment une partition de leur réunion qu'on désigne par B .
On propose de définir g : E E par :
g(x) = x si x B et
g(x) = f(x) si x B .
Mais alors g(E) = (E \ B) B(1) B(2) ...B(n)....= E \ B(0) = E \ (E \ A ) = A .
Ceci montre que g réalise une surjection de E sur A ou encore que ( E , g , A)