Bonsoir,

J'ai un exercice dans lequel je dois montrer qu'une relation est une relation d'équivalence.
Voilà l'énoncé:

Soit E l'ensemble des fonctions de dans et B l'ensemble des fonctions bijectives de dans . On définit sur E la relation R par :

  f R g B, f o = o g

Réflexivité : J'ai noté la fonction identité qui est bijective donc R est réflexive.

Transitivité : Soient (f,g,h) E^3

Supposons f R g et g R h

Il existe deux applications bijectives et définies sur à valeurs dans telles que :

f o = o g   et g o = o h.

Comme et sont bijectives, elles admettent une fonction réciproque notée ^-1 et ^-1 respectivement définies sur .

D'où f o = o o h o ^-1
f o o = o o h
f o = o h

Donc R est transitive.

Cependant, je n'arrive ni à démontrer la symétrie ni trouver un contre-exemple pour l'antisymétrie.  Auriez-vous des suggestions?

Merci.