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Niveau Maths sup
Montrer que le successeur injectif
Posté par SkyMtn
Bonsoir. J'appelle ensemble inductif tout ensemble vérifiant l'axiome de l'infini (i.e. est inductif ssi
).
J'ai déjà établi que est inductif, que c'est le plus petit (au sens de l'inclusion) et qu'il ne dépend pas du choix de
. Je conviens alors de le noter
.
Je définis ensuite le successeur par l'application
J'aimerais vérifier les 5 axiomes de Peano (qui ne sont plus des axiomes par ailleurs...), mais je n'arrive pas à montrer le 4ème : L'application successeur est injective.
Partir de ne semblait pas envisageable, donc j'ai essayé en partant de
, et j'ai pu établir
et je ne vois pas comment montrer que ça entraîne
...
Merci par avance pour votre aide.
SkyMtn @ 25-03-2017 à 21:23
J'appelle ensemble inductif tout ensemble vérifiant l'axiome de l'infini
J'appelle ensemble inductif tout ensemble vérifiant l'axiome de l'infini
Là, on va avoir du mal à s'entendre sur ce coup
Il y a des ensembles inductifs qui ne vérifient pas l'axiome de l'infini (toute partie finie de
Un ensemble est inductif si toute partie totalement ordonnée de celui-ci admet un majorant (dans l'ensemble en question, bien entendu)
Ce que tu as posé comme définition est un cas particulier d'ensemble transitif.
Plus précisément, un ensemble T est dit transitif, si
Si de plus ton ensemble transitif est bien ordonné par la relation d'appartenance (relation d'ordre stricte, évidemment), alors on l'appelle un ordinal.
Voici les premiers ordinaux :
Si tu ne supposes pas être dans la classe des ordinaux, alors tu ne trouveras jamais l'injectivité que tu cherches. Je te laisse méditer ceci : (âmes sensibles s'abstenir)
B = {A} et A = {B} = {{A}}. Tu as forcément A
B (sinon B 
B et A A ) et pourtant s(B) = B 
{B} = {A} {{A}} = {A} A = s(A).
Si tu es dans la classe des ordinaux, l'application "successeur" est injective dans cette classe.
Si E est un élément de cette classe, on note
Pour montrer cette injectivité, il te faudra la notion de segment initial :
On appelle segment initial d'une partie bien ordonnée un ensemble de cette partie tel que étant donné un élément de cette partie, tous les éléments qui sont inférieurs à cet élément sont aussi dans la partie.
Et donc aussi la notion de bon ordre :
On dit qu'un ensemble muni d'une relation d'ordre est bien ordonné si et seulement si toute partie non vide de cet ensemble admet un élément minimum. L'ordre est alors appelé un bon ordre.
Et il y a du pain sur la planche ...
Comme tu l'as dit ... exit Peano et ses axiomes.