Pour la 5), en suivant l'indication de luzak, que je salue, je ne trouve pas de solutions.

Pour la 6), on sait que l'ensemble des nombres premiers est infini : en effet, si p est le plus grand nombre premier, p!+1 est premier, contradiction.
Or p!+1=3 (4) ...

Pas de solutions hormis (0,0,0) !

Modulo 4 me parait une bonne idée, mais tu te compliques : c'est simple, on est ramené à . On cherche à quoi sont congrus les carrés modulo 4 ...

Mais cela n'utilise pas les questions précédentes.

Salut Coa347, merci énormément pour tes retours.

En fait, comment tu as fais pour déduire qu'on a seulement une solution triviale?
Si on est congru modulo 127, j'y conviens, mais sur Z tout entier, comment on fait? Je ne comprends pas comment on peut se restreindre à modulo 127 pour généraliser à Z, y'a quelque chose qui me bloque dans la tête :/

merci beaucoup d'avance

On a donc : si , , impossible.
Donc , i.e. 127 divise et .

On revient à l'équation de départ, on pose
=>
=>
donc puis (car 127 premier), impossible (car on a pris la précaution au départ de supposer x, y et z premiers entre eux, sinon on peut tous les diviser par leur pgcd), sauf si x=y=z=0.

Pour commencer pourquoi avoir choisi modulo 4 : rien ne le justifie.

Ensuite ton équation ce n'est pas

Citation :
Mon équation dans revient à

Bonjour Shurkan,

Oups, c'est le produit des nombres premiers + 1 qui est alors premier, mais tu l'auras rectifié.

Je vais réfléchir pour les premiers 4n+1.

Pour les 4n+1, regarde le nombre 2 x produit des nombres premiers jusqu'à p, où p est le plus grand nombre premier.

.... 2 x produit des nombres premiers + 1 .....

Bonsoir coa347 !
Je ne comprends pas vraiment ta proposition ! On sait qu'il n'y a pas de nombre premier maximum donc tu as oublié quelque chose en définissant .
Je pense que tu supposes l'existence d'un nombre premier maximum de la forme   et que tu veux ajouter 1 au produit de
  ?? tous les premiers de la forme , disons
?? OU à tous les premiers inférieurs à   disons

Et je pense que tu veux utiliser l'existence d'un diviseur premier de ou mais je ne vois pas où se situe la contradiction.
Il est clair que ce diviseur ne peut être l'un des (dans le premier cas) ni un nombre premier inférieur à dans le deuxième MAIS il pourrait être de la forme et on ne prouve rien.

Si tu peux éclaircir ce que tu proposes, merci ?

Je pense avoir une solution.

1. Il y a une infinité de nombres premiers de la forme .
Supposons le contraire, soit le plus grand nombre premier de ce type.
Alors le plus petit diviseur premier de est un nombre premier et .
Puisque on aura est un carré dans donc et on a une contradiction.

2. Il y a une infinité de premiers de la forme .
Supposons le contraire et soit le plus grand, l'ensemble des premiers impairs inférieurs à .
Tout   est de la forme donc son carré est congru à 1 modulo 4 et carré du produit des éléments de vérifie et .
ainsi que les éléments de ne sont pas diviseurs de et il en résulte que est produit de facteurs premiers impairs strictement supérieurs à donc de la forme multiples de  4 plus 1 donc   et on a une contradiction.

Bonjour luzak,

Tu as raison, ma démonstration ne va pas : j'ai raisonné par l'absurde en supposant qu'il existe un plus grand nombre premier de la forme 4q+3. Mais si on prend le produit de tous les nombres premiers + 1, il est de la forme voulue (4q+3) mais rien ne prouve que ce nombre est premier (car il peut avoir un diviseur 4q+1), et si on prend le produit des nombres premiers de la forme 4q+3, leur produit + 1 n'est pas premier (il est pair). Bref, c'est un écueil.
En fait, je n'ai rien supposé du tout, j'ai juste donné une indication qui ne marche pas en l'approfondissant. Dans ce cas-là, s'abstenir !

Si j'ai le temps, je regarderai ta démonstration.

Bonjour luzak,

Ok pour ta démonstration, elle me parait correcte.
Je n'ai pas cherché de mon côté, mais je me demande quand même s'il n'y a pas une démonstration plus simple, étant donné que l'exercice a été posté en L1.

Le 1. est une conséquence directe d'une des questions posées dans l'exercice. D'ailleurs j'avais déjà dit que je m'orientais vers la recherche d'un premier aussi grand qu'on veut tel que soit un carré modulo .

Le 2. peut être expliqué à un élève de Terminales.
On peut faire un peu plus dépouillé en prenant produit des premiers impairs inférieurs à .
Alors et . Comme les facteurs premiers de sont tous de la forme on a encore ce qui est contradictoire.

Cela ne change pas grand'chose. Je voulais dire que tout l'exercice (qui doit être un DM) me parait difficile au niveau L1, mais bon, je ne suis pas à même d'en juger.

Bonsoir,

Je vous prie déjà de m'excuser pour le temps que j'ai pris pour fournir une réponse, j'étais en pleine révision des autres modules.

Pour vous donner des nouvelles, il s'agit d'un devoir de mathématiques qui m'a été donné cette année en L2, mais le professeur est convaincu que c'est du niveau L1. En effet, le programme d'algèbre des groupes est seulement au programme de la L1/L3. Enfin, en théorie car le module dans lequel je dois faire mon DM nous apprend de nouvelles propriétés au fur et à mesure -même si en normalement ça doit être un module d'initiation à la recherche en mathématiques - (mais jusqu'à la date de publication de mon topic, nous n'avions pas vu les propriétés sur les ordres jusqu'à la semaine dernière).

Vous vous demandiez pourquoi je n'utilisais pas les propriétés d'ordre de groupe alors que c'était nécessaire. Eh bien figurez vous que mon professeur était convaincu que nous avions vu ces propriétés l'année dernière. Eh donc, j'étais censé pouvoir faire mon DM... Pour ce qui est de la question 2, il m'a dit qu'elle découlait d'une propriété que nous verrions la semaine d'après (la semaine du 03/01). En d'autres termes, je n'avais pas le bagage mathématiques nécessaire pour faire ce DM et non par ma faute. J'ai réussi à gratter une semaine d'échéance supplémentaire ce qui devrait me permettre de faire ces deux dernières questions avant Mercredi.

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de m'aider pour la démonstration de la dernière question. Je vais essayer de réfléchir encore davantage avant de la lire en détail.

Pour ce qui est de la question : "Trouvez les entiers relatifs (x,y,z) tels que x²+y² = 127 z²"
J'ai décidé de procéder par l'absurde. En effet, il semble n'y avoir qu'une solution triviale:  (0,0,0)
Si je suppose donc, qu'il existe une solution autre que ça et que je la note: (,,)

Alors, comme l'a dit Luzak dans son message du 18-01-20 il n'y a pas de solutions autre que (0,0,0) si l'on résout l'équation modulo 127.

Néanmoins j'ai deux appréhensions, d'abord quant à ta démonstration Luzak, tu divises par y² en modulo 127, mais pourquoi ne sépares tu pas les cas si est entier ou non? Une équation modulo 127 n'a de sens qu'avec des nombres entiers?
D'ailleurs, pourquoi après n'avoir trouvé qu'une solution triviale, tu en déduis qu'une possible solution serait nécessairement de la forme (127a,127b,127c)?

Ma deuxième appréhension: ma démonstration m'a l'air correcte car je n'ai rien supposé d'autre sur ,,, si ce n'est que je travaille en modulo 127, mais ça m'a l'air trop simple.. Pourriez-vous me montrer où mon raisonnement dérape?

Merci énormément d'avance
Je vous remercie encore très profondément pour votre aide (déjà plus de 60 messages d'aide :0)

Non quand on est dans qui est un corps tout élément non nul est inversible !
Bref, modulo 127, si , l'entier a un inverse et on peut utiliser de sorte qu'on a un carré dans le groupe multiplicatif des entiers modulo 127.

Effectivement j'ai été un peu vite avec mon car modulo 127 on trouve seulement .

Dès le départ on doit supposer premiers entre eux dans leur ensemble puisque s'il y a une solution on peut diviser les entiers par leur pgcd.
Tu cherches donc, comme coa347 l'a d'ailleurs rectifié une solution formée d'entiers   premiers entre eux dans leur ensemble et tu montres que doit AUSSI être un multiple de 127, ce qui est absurde.

Sapristi, j'ai enfin compris, je suis vachement long à la détente.

Un grand merci à toi Luzak

Bonjour Luzak,

Dans ta première démonstration de la dernière question,
Tu poses q le plus grand nombre premier impair congru à 1 modulo 4, et tu en déduis que le plus petit diviseur premier de est un nombre premier   tels que .

Comment arrive-tu à admettre l'existence d'un tel nombre premier? Je sais juste que tous les nombres se décomposent en produit de facteur premier, mais à priori j'ai du mal à admettre l'existence de ce fameux nombre premier, pourrais-tu m'éclairer?

merci beaucoup

Tout entier a au moins un diviseur premier, cela me semblait acquis.

Dans la situation invoquée ce diviseur premier (le plus petit, mais ce n'est même pas une obligation) ne peut pas être un nombre inférieur à puisque la division de par un entier (premier ou pas, peu importe) inférieur à donnera un reste égal à 1 : aurais-tu perdu de vue que (et aussi son carré) est divisible par TOUS les entiers précédant ?

Punaise, comment j'ai pu manquer ça...
Surtout qu'après t'avoir posé la question j'avais refais la démonstration du fait de l'infinité de nombre premiers par l'absurde en montrant que N = p! +1 est un nombre premier avec p le plus grand nombre premier, et que ça s'appuie directement sur ce principe...

Merci beaucoup à toi Luzak!