Bonjour,
Je dois chercher tous les morphismes de groupes Z/nZ -> Z et réciproquement ceux de Z -> Z/nZ.
Cependant, je ne vois pas du tout comment procéder...
Pouvez-vous m'aider, s'il vous plaît ?
f(e)=e', f(x+y)=f(x)+f(y) et f(xy)=f(x)f(y) avec e le neutre de l'ensemble de départ et e' celui de l'ensemble d'arrivée
donc ici tu en déduis quoi ?
et avec ce que tu dis ici on travaille avec des groupes additifs ou multiplicatifs ?
donc donne-nous les propriétés adéquates et pas plus ...
Je ne vois pas ce que je dois en déduire..
Je pense qu'on considère des groupes additifs, donc f(e)=e' et f(x+y)=f(x)+f(y)
ici tu n'as pas des groupes quelconques mais Z/nZ et Z
quels sont leur neutres ?
posons f(1) = p
f(1 + 1) = ... ?
f(1 + 1 + 1) = ... ?
f(1 + 1 + ... + 1) = ... ? (avec n "1")
...
Leur neutres sont 0 ?
f(1 + 1) = f(1)+f(1)
f(1 + 1 + 1) = f(1)+f(1)+f(1)
f(1 + 1 + ... + 1) = f(1)+f(1)+...+f(1) (avec n "f(1)")
Mais je ne vois pas vraiment où vous voulez en venir ?
sais-tu ce qu'est le groupe Z/nZ ?
Oui, Z/nZ={0, ..., n-1} est un anneau commutatif
Désolée..:
f(1 + 1) = 2p
f(1 + 1 + 1) = 3p
f(1 + 1 + ... + 1) = np
@Carpi : bonjour. J'espère que tu vas bien, ainsi que tes proches. Ce qu'a écrit l'initiateur du fil, ici-même Morphismes de groupes , est faux.
salut TP, j'espère que tu vas bien toit aussi ! moi ça va
je ne vois pas en quoi c'est faux mis à part le fait de donner un résultat inutile dans le cas présent
paulette11 : et 1 + 1 + .. + 1 = ... ? (avec n "1")
Soit et des groupes de neutres respectifs et . Les lois internes sont notées multiplicativement. Alors, est un morphisme de groupes si quels que soient , .
se prouve facilement. Inutile d'en dire plus.
Enfin, je ne vois pas ce que vient faire ce . N'y aurait-il pas confusion avec les morphismes d'anneaux ?
ThierryPoma : ici on travaille avec des groupes additifs donc ici ce qu'on veut c'est f(x + y) = f(x) + f(y) (*)
quant à la relation f(e) = e' qui se déduit effectivement de (*) dans un groupe elle y est dans la définition d'un morphisme de monoïde et je pense qu'on peut la mettre aussi ...
sans cette relation on aboutit immédiatement à des contradictions et la plupart du temps elle est donc donnée dans la définition "de base" aux néophytes (pour gagner du temps)
et un premier exo est très souvent de démontrer que seule (*) suffit (quand on a le temps !!)
mais il est bon de la faire écrire immédiatement ... actuellement ...
ben plutôt qu'on n'en a pas ... ou plutôt il n'y en a qu'un seul (à toi de trouver)
puisque f(n.1) = f(0) = np 0
or f(0) = 0
Je suppose que c'est la fonction nulle, mais je ne comprends pas la démarche...
Pourquoi utiliser f(n.1) ?
tu peux prendre 1 ou n'importe quel entier k non nul !!
si f(k) = p alors f(nk) = np et f(nk) = f(0)
car nk = 0 dans Z/nZ ...
D'accord merci
Pour les morphismes Z -> Z/nZ, j'ai procédé de la même manière en sachant que Z est engendré par 1. Je trouve donc f(n)=n.f(1).
Cependant, je ne vois pas comment « arriver » dans Z/nZ..
Est-ce que le début est correct ?
Pouvez-vous m'aider pour la suite ?
pour tout p tu as f(p) = p.f(1)
et si p = n tu as f(n) = f(0) = n.f(1) = 0 donc il n'ya aucun pb ...
tu cherches les morphismes f du groupe (Z, +) dans le (Z/nZ, +)
par définition f(0) = 0 et pour tout x et y : f(x + y) = f(x) + f(y) (*)
tu as dit que 1 est un générateur donc si on décide de noter p l'image de 1 : p = f(1)
quelle est l'image d'un entier k de Z?
f vérifie-t-il la relation (*) ?
donc quels sont les morphismes de (Z, +) dans (Z/nZ, +) ?
L'image d'un entier k de Z est f(k)=kp
Et oui f vérifie la relation f(x + y) = f(x) + f(y)
Donc ce sont des fonctions affines...?
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