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n^2 <= Sum (1/x)

Posté par
Inlove4Maths 25-06-18 à 11:06

Bonjour,

C'est rare que je bloque à ce point sur un énoncé, mais je ne vois vraiment pas quelle notion pourrait m'être utile pour le faire , c'est bizarre d'être à ce point dans le flou.
(Le contexte : j'ai eu cet énoncé à mon premier exo d'examen du premier semestre, et je refais mon exam pour rattraper la matière du coup)

Enoncé :
Soient x1, x2, ..., xn > 0, tels que x1, x2, ..., xn = 1
Montrer que n2 1/xk

Posté par
carpediemre : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 11:20

salut

je suppose que la condition est le produit des variables ... que viennent faire ces virgules ?

l'inégalité est fausse lorsque x_1 = x_2 = ... = x_n = 1 ...

Posté par
Inlove4Mathsre : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 11:30

Oh excusez-moi,
Je réécris sans fautes ;

Soient x1, ..., xn > 0, tels que x1+...+xn = 1.
Montrer que :
n2 \frac{1}{x_k}

Posté par
Inlove4Mathsre : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 11:36

Et bien sûr avec des notions de calculs de base, on trouve seulement que la somme est supérieur à n.

Posté par
lakere : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 12:22

Bonjour,

  La moyenne harmonique est inférieure ou égale à la moyenne géométrique elle même inférieure ou égale à la moyenne arithmétique:

    H\leq G\leq A

  Pour  démontrer H\leq G tu appliques l'inégalité G\leq A (inégalité arithmético-géométrique) à la suite des inverses

Posté par
carpediemre : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 12:31

alors lake a tout dit ... puisque (1/n) 1/x_k est l'inverse de la moyenne harmonique ...

Posté par
carpediemre : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 13:18

tiens une idée qui n'utilise aucun autre résultat que : la somme d'un nombre (strictement positif) et de son inverse est supérieure à 2

il me semble alors qu'on peut faire mieux :

\sum_i^n x_p = 1 donc

\sum_1^n \dfrac {x_p} {x_1} = \dfrac 1 {x_1} \\ \\ \sum_1^n \dfrac {x_p} {x_2}  = \dfrac 1 {x_2} \\ \\ ... \\ \\ \sum_1^n \dfrac {x_p} {x_n} = \dfrac 1 {x_n}   (*)

sommons ces n égalités et notons S la somme des inverses

S = \sum_1^n \dfrac 1 {x_q} = \sum_{q = 1}^n \sum_{p = 1}^n \dfrac {x_p} {x_q} = n + \sum_{q = 1}^n \sum_{p > q}^n \left( \dfrac {x_p} {x_q} + \dfrac {x_q} {x_p} \right) \ge n + \sum_{q = 1}^n \sum_{p > q}^n 2 = n + 2 \dfrac {n(n - 1)} 2 = n^2



REM : pour la somme portant sur q on pourrait n'aller que jusqu'à n - 1

mais de toute façon la condition p > q conduit à une somme sur l'ensemble vide donc vaut 0 ...

Posté par
Inlove4Mathsre : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 13:25

C'est étonnant, le prof n'a jamais mentionné l'utilisation de ces moyennes dans son cours. Ce n'est d'ailleurs en lien avec aucun des chapitres.
Il nous aurait donné un exercice  nous demandant d'utiliser des choses aussi peu intuitive, n'y aurait-il pas une autre manière de le montrer ?

Pour en revenir à votre solution que j'essaie de comprendre :

\frac{1}{x_k} = \frac{n}{H} ? Nous dire que la somme des x_k est égale à 1 ne servirait donc pas ? Je ne connais pas la moyenne harmonique et en cherchant sur le web ça n'avait pas l'air nécessaire.
Dans ce cas là il faudrait montrer l'inégalité H\frac{1}{n} ?

\frac{1}{n} constitue donc la moyenne géométrique ?
Honnêtement, à première vue, mis à part la moyenne arithmétique, aucune des deux autres ne me parle.


Posté par
Inlove4Mathsre : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 13:30

Merci carpediem

On a écrit nos messages en même temps, mais j'ai compris la réponse à la question du coup sans utiliser les moyennes.

Posté par
carpediemre : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 13:32

tiens je l'avais fait ici aussi Borne Inférieure

j'ai même proposé une autre méthode utilisant la convexité de la fonction inverse ...

Posté par
lakere : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 16:01

La méthode de carpediem est très bien.

Pour en revenir à ceci:

    

Citation :
Pour en revenir à votre solution que j'essaie de comprendre :


  Pour une suite de n réels positifs x_1,x_2,\cdots x_n:

  La moyenne arithmétique:  A=\dfrac{1}{n}\,\sum x_i

  La moyenne géométrique:  G=\sqrt[n]{\prod x_i}

  La moyenne harmonique:  H=\dfrac{n}{\sum \dfrac{1}{x_i}}

L'inégalité arithmético-géométrique nous indique que G\leq A
Il existe une foultitude de démonstrations; en voici une (ma préférée) due à George Polya:

   Pour tout x réel, x\leq e^{x-1} (facile à prouver)

     \prod \left(\dfrac{x_i}{A}\right)\leq \prod \left(e^{\frac{x_i}{A}-1}\right)

    \prod \left(\dfrac{x_i}{A}\right)\leq e^{\sum\left(\frac{x_i}{A}-1\right)}

    \dfrac{\prod x_i}{A^n}\leq 1

    G\leq A

On applique cette inégalité à la suite des \dfrac{1}{x_i}:

   \dfrac{1}{\sqrt[n]{x_i}}\leq \dfrac{1}{n}\,\sum\dfrac{1}{x_i}

d'où l'on obtient:

   \dfrac{n}{\sum\dfrac{1}{x_i}}\leq \sqrt[n]{x_i} c'est à dire:

    H\leq G

  On a donc bien H\leq G\leq A

Pour en revenir à ton exercice:

   De H\leq A, on tire:

   \dfrac{n}{\sum\dfrac{1}{x_i}}\leq \dfrac{\sum x_i}{n}=\dfrac{1}{n}

  \sum\dfrac{1}{x_i}\geq n^2

Posté par
Jezebethre : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 16:56

Bonjour

Beaucoup plus direct : penser à Cauchy-Schwarz.

Posté par
lakere : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 17:43

Bonjour Jezebeth,

Je n'ai donné les démonstrations qu'à titre indicatif. Si on considère comme acquis que H\leq A qui est après tout une inégalité au même titre que Cauchy Schwartz, la solution est immédiate:

  

Citation :
De H\leq A, on tire:

   \dfrac{n}{\sum\dfrac{1}{x_i}}\leq \dfrac{\sum x_i}{n}=\dfrac{1}{n}

  \sum\dfrac{1}{x_i}\geq n^2




  

Posté par
Jezebethre : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 17:51

Mais il y a quand même une minuscule ligne intermédiaire… alors que c'est expressément une inégalité de CS.

(En tout cas les démos sont jolies, merci du partage.)

Posté par
carpediemre : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 18:03

Jezebeth @ 25-06-2018 à 16:56

Bonjour

Beaucoup plus direct : penser à Cauchy-Schwarz.
j'aimerai bien voir ...

Posté par
Jezebethre : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 18:07

carpediem @ 25-06-2018 à 18:03

Jezebeth @ 25-06-2018 à 16:56

Bonjour

Beaucoup plus direct : penser à Cauchy-Schwarz.
j'aimerai bien voir ...


Munir R^n de son PS canonique, et l'appliquer avec les racines et les inverses des racines, on obtient immédiatement

n^2=\left( \sum_{i=1}^{n}{1}\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n}{x_i} \right)\left(\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i}} \right)

et la somme des xi fait 1...

Posté par
carpediemre : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 18:17

merci

ça fait encore une méthode ... explicite ...

Posté par
lakere : n^2 <= Sum (1/x) 25-06-18 à 22:57

Une erreur à 16h01:

Citation :
On applique cette inégalité à la suite des \dfrac{1}{x_i}:

   \dfrac{1}{\sqrt[n]{{\red\prod}x_i}}\leq \dfrac{1}{n}\,\sum\dfrac{1}{x_i}

d'où l'on obtient:

   \dfrac{n}{\sum\dfrac{1}{x_i}}\leq \sqrt[n]{{\red \prod}x_i} c'est à dire:

    H\leq G



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