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Nombre complexe

Posté par
Ramanujan 02-07-19 à 14:17

Bonjour,

Je cherche à résoudre dans \C : z^2+z+1=\bar{z^2+z+1}

J'ai écris : z^2+z+1=\bar{z}^2+\bar{z}+1 mais après je bloque.

Posté par
jsvdbre : Nombre complexe 02-07-19 à 14:23

Salut Ramanujan.
Tu n'as jamais appris qu'un nombre complexe est égal à son conjugué si et seulement si il est réel ?

Posté par
malou Webmasterre : Nombre complexe 02-07-19 à 15:02

Ramanujan @ 02-07-2019 à 14:17

Bonjour,

Je cherche à résoudre dans \C : z^2+z+1=\bar{z^2+z+1}

J'ai écris : z^2+z+1=\bar{z}^2+\bar{z}+1 mais après je bloque.


et quand il en est ainsi, plutôt que de poster tout de suite sur le site, pourquoi n'ouvres-tu pas tes documents, en te disant que tu as peut-être loupé quelque chose...
Ce type d'exercice se pose dès qu'on a introduit les complexes, 1re ou terminale suivant les sections

Posté par
alb12re : Nombre complexe 02-07-19 à 15:11

salut,
"apres je bloque"
tu imagines la tete d'un jury si tu reponds ainsi !

Posté par
malou Webmasterre : Nombre complexe 02-07-19 à 15:31

Nombre complexe
...le jury...

Posté par
Ramanujanre : Nombre complexe 02-07-19 à 16:18

Je cherche l'ensemble suivant :

E= \{z \in \C, (z^2+z+1) \in \R \}

Or (z^2+z+1) \in \R \Longleftrightarrow z^2+z+1=\bar{z^2+z+1} \Longleftrightarrow z^2+z+1=\bar{z}^2+\bar{z}+1 \\ \Longleftrightarrow z^2 - \bar{z}^2 +z-\bar{z}=0 \\ \Longleftrightarrow (z-\bar{z})(z+\bar{z}) + z-\bar{z} =0 \\ \Longleftrightarrow (z-\bar{z} )(z+\bar{z}+1)=0

Donc : E= \{y=0 \} \cup \{x=- \dfrac{1}{2} \}

Posté par
alb12re : Nombre complexe 02-07-19 à 16:55

Que signifie la derniere ligne ?

Posté par
jsvdbre : Nombre complexe 02-07-19 à 17:59

J'ai toujours cru que l'équation x^2+x+1=0 n'admettait pas de solution dans \R ... me serais-je trompé ?

Posté par
jsvdbre : Nombre complexe 02-07-19 à 18:00

L'art de compliquer des choses triviallississimes ... (oui c'est nouveau, c'est le superlatif du superlatif)

Posté par
lakere : Nombre complexe 02-07-19 à 18:02

Bonjour,

Un réel n'est pas forcément nul

Posté par
jsvdbre : Nombre complexe 02-07-19 à 18:04

Euuuh, j'me goure, on cherche pas à résoudre x^2+x+1 = 0 mais à vérifier pour quels z la quantité z^2+z+1 est réelle .... sorry

Posté par
jsvdbre : Nombre complexe 02-07-19 à 18:05

Ah bah pinèze, y'en qui tirent plus vite que leur ombre. Salut lake.

Posté par
jsvdbre : Nombre complexe 02-07-19 à 18:07

Oui, enfin, bon ça revient à résoudre x^2+x+a = 0 avec un discriminent positif (ou nul)

Posté par
jsvdbre : Nombre complexe 02-07-19 à 18:07

x^2+x+1+a = 0 avec discriminent positif ou nul.

Posté par
jsvdbre : Nombre complexe 02-07-19 à 18:13

Bah non, on cherche à résoudre z^2+z+1-a = 0 avec discriminent quelconque et a \in \R

Posté par
lakere : Nombre complexe 02-07-19 à 18:24

Bonjour jsvdb,

Sans aucune méchanceté/arrière pensée, j'ai l'impression que tu cherches à défendre une cause perdue; la logique de cet exercice, à mon sens, consiste à écrire:

(z-\bar{z})(z+\bar{z}+1)=0

Autrement dit: z est réel ou \Re(z)=-\dfrac{1}{2}

Ou  je me trompe?

Posté par
jsvdbre : Nombre complexe 02-07-19 à 18:24

Passionnant dans le supérieur !!!

Posté par
alb12re : Nombre complexe 02-07-19 à 18:33

il faut toujours encourager le posteur (le candidat) dans la voie qu'il a choisie
et le laisser faire ...

Posté par
alb12re : Nombre complexe 02-07-19 à 18:41

On pourrait peut etre encourager Ramanujan qui, bien que débloqué, ne débloque pas du tout.

Posté par
jsvdbre : Nombre complexe 02-07-19 à 20:30

Ma remarque ne se rapportait pas à ce que disait lake, mais au fait de résoudre des équations du second degré.

Posté par
Ramanujanre : Nombre complexe 02-07-19 à 21:14

lake @ 02-07-2019 à 18:24

Bonjour jsvdb,

Sans aucune méchanceté/arrière pensée, j'ai l'impression que tu cherches à défendre une cause perdue; la logique de cet exercice, à mon sens, consiste à écrire:

(z-\bar{z})(z+\bar{z}+1)=0

Autrement dit: z est réel ou \Re(z)=-\dfrac{1}{2}

Ou  je me trompe?


C'est ça l'idée était de déterminer concernant l'application :

f : \C \longrightarrow \C \\ z \mapsto z^2 +z+1

f(\C) , f(\C^*) et f(\R)

Puis f^{-1}(\C) , f^{-1}(\C^*) et f^{-1}(\R)

f(\C)= \{Z \in \C, \exists z \in \C, z^2+z+1=Z \} = \C

Car l'équation z^2+z+1=Z qui équivaut à z^2+z+1-Z=0 admet toujours une solution dans \C

Par contre  f(\C^*) je ne vois pas trop comment procéder.

Posté par
jsvdbre : Nombre complexe 02-07-19 à 22:01

f(\C^*) = \{f(z)~|~z\neq 0\}

Or f(0) = f(-1)

Donc f(\C^*) = \C

Posté par
mousse42re : Nombre complexe 02-07-19 à 22:07

Salut Ramanujan,

Tu dois exprimer correctement tes solutions.

si z=x+iy \\ , on a  x=-1/2 ou y=0 ça ne correspond pas à ce truc E= \{y=0 \} \cup \{x=- \dfrac{1}{2} \} \\

Posté par
verdurinre : Nombre complexe 02-07-19 à 22:18

Ramanujan @ 02-07-2019 à 21:14

[ citation de lake supprimée ]
C'est ça l'idée était de déterminer concernant l'application :

f : \C \longrightarrow \C \\ z \mapsto z^2 +z+1

f(\C) , f(\C^*) et f(\R)

Puis f^{-1}(\C) , f^{-1}(\C^*) et f^{-1}(\R)

f(\C)= \{Z \in \C, \exists z \in \C, z^2+z+1=Z \} = \C

Car l'équation z^2+z+1=Z qui équivaut à z^2+z+1-Z=0 admet toujours une solution dans \C

Par contre  f(\C^*) je ne vois pas trop comment procéder.

La je me pose vraiment une question.
Ramanujan as tu lu l'énoncé que tu as posté ?

Posté par
Ramanujanre : Nombre complexe 03-07-19 à 00:22

@Mousse
Oui je corrige, E est la réunion de l'axe des réels (z=\bar{z}) et de la droite d'équation y=-\dfrac{x}{2} puisque z+\bar{z} = 2 Re(z) =2x

@Verdurin
Oui j'ai relu mon énoncé plusieurs fois.

Quelqu'un pourrait-il m'aider à déterminer f(\C^*) ?

J'ai f(\C^*)=\{Z \in \C | \exists z \in \C^{*} \ z^2+z+1=Z \}

Mais comment savoir le résultat qu'on doit obtenir ?

Posté par
verdurinre : Nombre complexe 03-07-19 à 00:27

Que dire ?
jsvdb t'a donné la réponse.

Posté par
mousse42re : Nombre complexe 03-07-19 à 00:28

normalement dans l' ensemble des solutions que l'on notera S, on a \mathbb{R}\subset S

Posté par
Ramanujanre : Nombre complexe 03-07-19 à 00:38

jsvdb @ 02-07-2019 à 22:01

f(\C^*) = \{f(z)~|~z\neq 0\}

Or f(0) = f(-1)

Donc f(\C^*) = \C


Je pense avoir compris, comme f(\C)=\C, mais est-ce une démonstration ?

Posté par
Ramanujanre : Nombre complexe 03-07-19 à 00:43

@Mousse

Montrons que \R \subset f(\C^*).
Soit Z \in \C^*
L'équation z^2+z+1=Z admet au moins une solution non nulle car si on note z_1,z_2 les racines de cette équation on a : z_1+z_2= - \dfrac{1}{2}
Donc \exists z \in \C^* , f(z)=Z
On a montré que : \C \subset f(\C^*)

Réciproquement, soit Z \in f(C^*). Alors \exists z \in  \C^*, f(z)=Z \in \C car f est une application de \C dans \C
On a montré f(C^*) \subset \C

Conclusion : f(\C^*)=\C

Mais la remarque de @jsvdb est très astucieuse

Posté par
mousse42re : Nombre complexe 03-07-19 à 00:53

il me semble que l'ensemble des solutions est S=\{-1/2+i\lambda ,\lambda\in \mathbb{R}\}\cup \mathbb{R}, de mémoire, je n'ai plus mon brouillon.

Posté par
Ramanujanre : Nombre complexe 03-07-19 à 00:55

J'ai une dernière question concernant le :

f^{-1}(\C)=\{z \in \C, f(z) \in \C \}

J'ai du mal à faire le lien avec le f(\C)=\C.

Posté par
jsvdbre : Nombre complexe 03-07-19 à 01:04

f(\C) = \C donc ta fonction est surjective, de plus, elle est définie sur \C, donc tout point est atteint par au minimum un point de \C donc f^{-1}(\C) = \C

Posté par
mousse42re : Nombre complexe 03-07-19 à 01:13

jsvdb, Ramanujan, il y a un truc qui m'échappe, vous répondez à quelle question?

Posté par
jsvdbre : Nombre complexe 03-07-19 à 01:19

A Ça :

Ramanujan @ 03-07-2019 à 00:55

J'ai une dernière question concernant le :

f^{-1}(\C)=\{z \in \C, f(z) \in \C \}

J'ai du mal à faire le lien avec le f(\C)=\C.

Posté par
Ramanujanre : Nombre complexe 03-07-19 à 01:22

mousse42 @ 03-07-2019 à 00:53

il me semble que l'ensemble des solutions est S=\{-1/2+i\lambda ,\lambda\in \mathbb{R}\}\cup \mathbb{R}, de mémoire, je n'ai plus mon brouillon.


Je ne sais pas d'où sort votre S mais c'est inutile ici.

Posté par
mousse42re : Nombre complexe 03-07-19 à 01:28

quelles sont les solutions alors? Peux-tu me donner l'ensemble s'il te plait pour vérifier?

Posté par
Ramanujanre : Nombre complexe 03-07-19 à 01:31

jsvdb @ 03-07-2019 à 01:04

f(\C) = \C donc ta fonction est surjective, de plus, elle est définie sur \C, donc tout point est atteint par au minimum un point de \C donc f^{-1}(\C) = \C


Je suis d'accord pour la surjection on a donc :

\forall Z \in \C, \exists z \in \C, f(z)=Z

Mais pouvez détailler comment on en déduit que f^{-1}(\C) = \{z \in \C \ | f(z) \in \C \}=\C ? J'ai du mal à ce niveau

Posté par
Ramanujanre : Nombre complexe 03-07-19 à 01:33

@Mousse
J'ai donné l'ensemble des solutions voir mon message de 00:22

Posté par
mousse42re : Nombre complexe 03-07-19 à 01:37

Ramanujan @ 03-07-2019 à 00:22

@Mousse
Oui je corrige, E est la réunion de l'axe des réels (z=\bar{z}) et de la droite d'équation y=-\dfrac{x}{2} puisque z+\bar{z} = 2 Re(z) =2x

@Verdurin
Oui j'ai relu mon énoncé plusieurs fois.

Quelqu'un pourrait-il m'aider à déterminer f(\C^*) ?

J'ai f(\C^*)=\{Z \in \C | \exists z \in \C^{*} \ z^2+z+1=Z \}

Mais comment savoir le résultat qu'on doit obtenir ?


Je ne vois pas tes solutions, je suis sérieux , je ne comprends pas  votre travail, je me trompe peut-être, mais je suis curieux de connaître les solutions, et je ne vois rien

Posté par
Ramanujanre : Nombre complexe 03-07-19 à 01:57

E= \{z \in \C, (z^2+z+1) \in \R \}

(z^2+z+1) \in \R \Longleftrightarrow z^2+z+1=\bar{z^2+z+1} \Longleftrightarrow z^2+z+1=\bar{z}^2+\bar{z}+1 \\ \Longleftrightarrow z^2 - \bar{z}^2 +z-\bar{z}=0 \\ \Longleftrightarrow (z-\bar{z})(z+\bar{z}) + z-\bar{z} =0 \\ \Longleftrightarrow (z-\bar{z} )(z+\bar{z}+1)=0

Donc (z^2+z+1) \in \R si et seulement si z-\bar{z}=0 ou z+\bar{z}+1=0   si et seulement si z=\bar{z} ou z+\bar{z}=-1 si et seulement si z \in \R ou Re(z)=- \dfrac{1}{2}

L'ensemble recherché est donc la réunion de l'axe des réels et de la droite d'équation y=- \dfrac{1}{2}

Posté par
mousse42re : Nombre complexe 03-07-19 à 02:09

f^{-1}(\C) = \{z \in \C \ | f(z) \in \C \}=\C

Soit z\in \C, on va montrer que z\in f^{-1}(\C)

Puisque f est une application, on a \forall z\in \C, \exists !Z\in \C, f(z)=Z

On déduit donc z\in f^{-1}(\{Z\})\subset f^{-1}(\C) , on déduit donc que \C\subset f^{-1}(\C), il s'ensuit que  f^{-1}(\C)=\C

Posté par
Ramanujanre : Nombre complexe 03-07-19 à 02:16

f^{-1}(\C) étant une partie de \C, il est évident que f^{-1}(\C) \subset \C

Ah oui joli mais je n'ai pas compris c'est où que vous utilisez que f(\C)=\C...

Vous utilisez seulement le fait que f est une application...

Posté par
mousse42re : Nombre complexe 03-07-19 à 02:17

L'ensemble recherché est donc la réunion de l'axe des réels et de la droite d'équation y=- \dfrac{1}{2}

Je ne comprends pas ce qu'est cet ensemble, C' est \R\cup ? et quoi?, je suis désolé, je t'assure que je ne comprends pas. C'ets juste pour comparer avec mon résultats, peux-tu l'exprimer autrement, ou donner un élément de cet ensemble qui ne soit pas un réel

Posté par
mousse42re : Nombre complexe 03-07-19 à 02:20

Ramanujan @ 03-07-2019 à 02:16

f^{-1}(\C) étant une partie de \C, il est évident que f^{-1}(\C) \subset \C

Ah oui joli mais je n'ai pas compris c'est où que vous utilisez que f(\C)=\C...

Vous utilisez seulement le fait que f est une application...


Prends la fonction nulle sur \R, on a f^{-1}(\{0\})=\R

Posté par
Ramanujanre : Nombre complexe 03-07-19 à 02:25

Sinon j'ai pensé à :

z \in f^{-1}(\C) \Leftrightarrow  f(z) \in \C  \Leftrightarrow  f(z) \in f(\C)   mais je n'aboutis pas...

Posté par
mousse42re : Nombre complexe 03-07-19 à 02:33

fais un dessin

j'attends un nombre non réelle qui est solution, pour tester

Posté par
Ramanujanre : Nombre complexe 03-07-19 à 02:33

mousse42 @ 03-07-2019 à 02:17

L'ensemble recherché est donc la réunion de l'axe des réels et de la droite d'équation y=- \dfrac{1}{2}

Je ne comprends pas ce qu'est cet ensemble, C' est \R\cup ? et quoi?, je suis désolé, je t'assure que je ne comprends pas. C'ets juste pour comparer avec mon résultats, peux-tu l'exprimer autrement, ou donner un élément de cet ensemble qui ne soit pas un réel


Tu ne sais pas ce qu'est une réunion d'ensemble ? Il suffit de les dessiner sur un plan complexe.

Les éléments qui appartienne à la droite verticale d'équation y=- \dfrac{1}{2} sont tous des nombres complexes qui vérifient : Re(z)= - \dfrac{1}{2}
Ces nombres s'écrivent sous la forme : z=- \dfrac{1}{2} + i b avec b parcourant \R tout entier.

Les éléments qui appartiennent à l'axe des abscisses sont les nombres complexes s'écrivant : z=a avec a parcourant \R tout entier.

Posté par
mousse42re : Nombre complexe 03-07-19 à 02:33

un nombre non réel, désolé pour les fautes

Posté par
mousse42re : Nombre complexe 03-07-19 à 02:35

ok, c'est compris

Posté par
Ramanujanre : Nombre complexe 03-07-19 à 02:42

mousse42 @ 03-07-2019 à 02:20

Ramanujan @ 03-07-2019 à 02:16

f^{-1}(\C) étant une partie de \C, il est évident que f^{-1}(\C) \subset \C

Ah oui joli mais je n'ai pas compris c'est où que vous utilisez que f(\C)=\C...

Vous utilisez seulement le fait que f est une application...


Prends la fonction nulle sur \R, on a f^{-1}(\{0\})=\R


Pas compris le rapport avec ici. Puis je n'ai pas compris comment ça se fait que votre démonstration marche sans utiliser f(\C)=\C

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