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Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puissance

Posté par
Mrwn 19-09-21 à 13:24

Bonjour,
J'ai un exercice de math sur les nombres complexes.

écrire (−1 + i√3)2021  sous forme algébrique.
J'ai commencé par calculer le module et l'argument pour avoir la forme trigonométrique et exponentielle.
Voici ce que j'ai fais, z=(−1 + i√3)2021
|z| =2 alors |z2021|=22021
arg(z)=-/6 alors arg(z2021)=-2021/6
On a donc la forme trigo qui est
z2021= 22021(cos(-2021/6)+i sin(-2021/6))
et la forme expo z2021=22021ei(-2021/6)

et c'est là que je bloque je ne sais pas comment faire pour atteindre la forme algébrique, merci d'avance.

Posté par
GBZMre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 19-09-21 à 13:33

Bonjour,

Citation :
arg(z)=-/6

Non. Fais un dessin, tu verras.

t\mapsto e^{it} est 2\pi-périodique, comme cosinus et sinus. Ça peut aider.

Posté par
Mrwnre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 19-09-21 à 13:38

Pourriez vous être plus clair svp, à quoi correspond le t ?

Posté par
GBZMre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 19-09-21 à 14:23

t\mapsto e^{it} est la fonction qui à un réel t fait correspondre e^{it}. Jamais vu ça ?

As-tu corrigé pour l'argument de -1+i\sqrt3 ?

Posté par
Mrwnre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 19-09-21 à 14:26

Oui effectivement avec un cercle trigo je trouve 2/3 comme arg(z), mais non cette fonction ne me dis rien.

Posté par
GBZMre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 19-09-21 à 14:32

Si cette fonction ne te dit rien, que veut dire le ei(-2021/6) que tu as écrit ??

Posté par
Mrwnre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 19-09-21 à 14:38

aah si, pardon, t est l'argument,  on a z=|z|eit
alors zn=|z|neint

donc dans notre cas avec le bonne argument on a,
z2021=22021ei(2021(2/3))  , ??

Posté par
GBZMre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 19-09-21 à 14:46

Je répète, la fonction t\mapsto e^{it} est 2\pi - périodique.
Tu as peut-être oublié ce que ça veut dire ?
Ça veut dire que pour tout entier n, e^{i(t+2n\pi)}=e^{it}. Tu peux t'en servir pour arranger ton 2021(2\pi/3) et le remplacer par quelque chose de plus sympathique !

Posté par
Mrwnre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 19-09-21 à 14:53

Alors j'ai du mal à comprendre mais, est-ce que cela veut dire que je peux ajouter un t quelconque pour arranger mon expression de la forme eit ?

Posté par
GBZMre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 19-09-21 à 15:00

Comment calculerais-tu \cos(2\pi/3 +2\pi) ?
Comment calculerais-tu \cos(8\pi/3) ?
Comment calculerais-tu \cos(14\pi/3) ?
Comment calculerais-tu \cos(20\pi/3) ?
Comment calculerais-tu \cos(26\pi/3) ?
Comment calculerais-tu \cos(31\pi/3) ?
Comment calculerais-tu \cos(2021(2\pi/3)) ?

Posté par
Mrwnre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 19-09-21 à 16:03

J'utilise sin, exemple :
cos(8/3) = sin(/2-8/3)
ce qui donne ensuite -sin(13/6)=-sin(/6)
ce qui donne -1/2

mais pour le dernier je bloque toujours, je ne vois pas comment faire avec le 2021

Posté par
Mrwnre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 19-09-21 à 16:15

quoi que, si j'ai bien compris le principe c'est totalement pareil enfaite, je fais cos(4042/3)=sin(/2-4042/3)
=sin(3/6-8084/6)=-sin(8081/6)=-sin(/6)
qui donne -1/2 ???

Posté par
lafol Moderateurre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 19-09-21 à 16:18

Bonjour
mais pourquoi diantre te compliques-tu la vie en passant par des sinus ? tu n'as jamais vu que cosinus AUSSI est périodique de période 2pi ?

Posté par
Mrwnre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 19-09-21 à 16:50

non, je n'ai aucun souvenir de cela, qu'est-ce que le periodique ?

Posté par
GBZMre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 19-09-21 à 17:28

La périodicité des fonctions trigonométriques fait partie du programme de première !
Une fonction f :\R\to \R est dite périodique de période p quand, pour tout réel x, f(x+p)=f(x).

Posté par
Mrwnre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 19-09-21 à 17:32

ah, je n'ai surement pas vue ce chapitre il y a 2 ans à cause de la crise sanitaire, mais j'aimerai si possible avoir un exemple concret pour voir comment cela fonctionne s'il vous plaît.

Posté par
malou Webmasterre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 19-09-21 à 17:40

Trigonométrie : enroulement de la droite des réels

Posté par
Mrwnre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 21-09-21 à 18:45

Voici la forme algébrique que je trouve, 1+i32021
est-ce correct ?

Posté par
GBZMre : Nombre complexe, passer à forme algébrique avec grande puis 21-09-21 à 22:10

Tu n'as pas du tout réfléchi à nos indications.


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