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Nombre complexe1

Posté par
owusu 04-01-21 à 14:51

Bonsoir, je suis bloqué dès la première question s'ils vous plaît aidez-moi.
Exercice :
Soit ]-π ,π[ et Z=1+e^i
1) Calculer le module et un argument de Z puis en déduire l'écriture exponentielle de Z.
2) Calculer Z⁴ de deux façons différentes (à partir de l'écriture exponentielle de Z puis à partir de Z=1+e^i.
3) Déduire une linéarisation de Cos⁴(/2)

Posté par
Tilk_11 Moderateurre : Nombre complexe1 04-01-21 à 14:59

Bonjour owusu,
peux-tu, s'il te plait, modifier le niveau dans ton profil, merci.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Posté par
owusure : Nombre complexe1 04-01-21 à 15:00

Voilà comment j'ai commencé :
Z=1+e^i
=> Z=1+Cos+iSin.
1) Le module
|z|=\sqrt{(1+Cos\theta )²+(Sin\theta)² }=\sqrt{1+2Cos\theta }

Car Cos²+Sin²=1

Voilà c'est là je me suis arrêté

Posté par
Glapion Moderateurre : Nombre complexe1 04-01-21 à 15:08

Bonjour, non sous la racine tu as le 1 de cos²+sin² mais il y a un autre 1
donc en tout ça donne 2+2cos = 2(1+cos )

et après utilise une formule de trigo pour convertir ce 1 + cos en quelque chose qui a un carré.

Posté par
owusure : Nombre complexe1 04-01-21 à 15:09

D'accord désolé Tilk_11 mais vraiment je le mettais à jour même maintenant je viens de le mettre à jour .et à chaque fois on m'envoie le message votre profil a été mis à jour avec succès. Mais dès que je reviens je ne vois aucun changement.

Posté par
owusure : Nombre complexe1 05-01-21 à 07:48

Bonjour Glapion  . Merci pour votre réponse.
Ainsi donc j'aurais :
|z|=\sqrt{2Cos²(\frac{\theta }{2})}\Rightarrow |z|=\sqrt{2}Cos(\frac{\theta }{2})

Posté par
Glapion Moderateurre : Nombre complexe1 05-01-21 à 11:23

non il y a un 2 en facteur et un deuxième qui vient de 1+ cos a = 2 cos²(a/2)
donc 4 en tout ce qui donne un 2 avec la racine carrée.

(justifie quand même que cos(/2) est bien toujours positif)

Posté par
owusure : Nombre complexe1 05-01-21 à 16:45

Ah oui je vois. Donc
|z|=2Cos(/2)

Posté par
Glapion Moderateurre : Nombre complexe1 06-01-21 à 10:44

oui et l'argument ?

Posté par
owusure : Nombre complexe1 06-01-21 à 14:18

Arg(z)= Cos\alpha =\frac{1+Cos\theta }{2Cos(\frac{\theta }{2})}=> Cos\alpha =Cos(\frac{\theta }{2})

Sin\alpha =\frac{Sin\theta }{2Cos(\frac{\theta }{2})}

Vraiment là je ne sais plus quoi faire

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 06-01-21 à 17:44

Bonjour,
Je réponds en l'absence de Glapion.
sin(2a) = ?

Posté par
owusure : Nombre complexe1 06-01-21 à 19:05

Sin(2a)=2Cos(a)Sin(a).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 06-01-21 à 19:20

Utilise le pour transformer \; sin .

Posté par
owusure : Nombre complexe1 06-01-21 à 19:37

J'y arrive pas vraiment. Pourriez vous me donnez une autre indice s'ils vous plaît ?

Posté par
Priamre : Nombre complexe1 06-01-21 à 20:42

Bonsoir,

Si sin(2a) est égal à  2sin(a)cos(a) ,

à quoi est égal  sin(a)  ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 06-01-21 à 20:44

Comment as-tu fait pour trouver cos() =cos(/2) ?
Au passage, arg(z) n'est pas égal à Cos() comme écrit à 14h18.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 06-01-21 à 20:45

Bonsoir Priam

Posté par
owusure : Nombre complexe1 07-01-21 à 20:49

Enfaite j'ai remplacé 1+Cos=2Cos²(/2)

Cos\alpha =\frac{1+Cos\theta }{2Cos(\frac{\theta }{2})} \Rightarrow Cos\alpha =\frac{2Cos²(\theta/2) }{2Cos(\theta /2)}\Rightarrow Cos\alpha =Cos(\theta /2)

Sylvieg @ 06-01-2021 à 20:44


Au passage, arg(z) n'est pas égal à Cos() comme écrit à 14h18.


Oui je sais seulement sur le site je vois pas trop comment faire pour mettre l'accolade et ajouter le Cos(a) et Sin(a)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 07-01-21 à 22:05

D'accord.
Pour sin(), remplace sin()par ce qu'on obtient en utilisant Sin(2a)=2Cos(a)Sin(a).

Posté par
owusure : Nombre complexe1 08-01-21 à 00:35

Ok.
Sin(2)=2Cos(Sin).
=> Sin()=Sin(2)/2Cos().

Comme ça ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 08-01-21 à 07:15

Sin() = sin(2(/2))

Posté par
owusure : Nombre complexe1 08-01-21 à 08:10

S'ils vous plaît Comment vous avez fait pour avoir cette relation ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 08-01-21 à 08:14

Laquelle ?
= 2(/2) ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 08-01-21 à 08:21

Tu as trouvé cos() = cos(/2).
Tu serais content de trouver sin() = sin(/2).

En posant \; a = /2 , tu as \; sin(\alpha) =\dfrac{sin(\theta) }{2cos(\frac{\theta }{2})} = \dfrac{sin(2a) }{2cos(a)} = ....

Posté par
owusure : Nombre complexe1 08-01-21 à 09:40

Ah d'accord je vois.
Sin\alpha =\frac{Sin(2a)}{2Cos(a)}\Rightarrow Sin(\alpha )=\frac{2Sin(a)Cos(a)}{2Cos(a)}

Sin=Sin(a)
Sin=Sin(/2)

Posté par
owusure : Nombre complexe1 08-01-21 à 09:44

Cos=Cos(/2)
Sin=Sin(/2).
Le est un inconnu comment trouver l'argument

Posté par
Glapion Moderateurre : Nombre complexe1 08-01-21 à 11:20

Que penser de deux angles qui ont le même cosinus et le même sinus ?

Posté par
owusure : Nombre complexe1 08-01-21 à 12:10

Donc l'arg(z)=/4

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 08-01-21 à 12:39

D' où sort \; cos() = cos(/4) \; et \; sin() = sin(/4) \; ????

Tu as trouvé \; |z|=2cos(/2) , sans que tu sois dérangé par " est un inconnu".

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 08-01-21 à 12:42

Et la conclusion ne sera pas "l'arg(z) = ...", mais "un arg(z) est ...", ou "on peut choisir arg(z) = ...".

Posté par
owusure : Nombre complexe1 08-01-21 à 13:03

Sylvieg @ 08-01-2021 à 12:39

D' où sort \; cos() = cos(/4) \; et \; sin() = sin(/4) \; ????

Je me suis planté désolé. Je pensais bien faire en remplaçant => Cos=√2/2
Sin=√2/2 et arg(z)=π/4
Mais là je compris l'erreur.

Posté par
owusure : Nombre complexe1 08-01-21 à 13:07

Habituellement quand je calcule l'argument je trouve l'angle en me servant du tableau trigonométrie après avoir trouver les valeurs de Cos( )et Sin() . Mais ici c'est différent

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 08-01-21 à 14:03

Citation :
Habituellement quand je calcule un argument
Un argument d'un complexe non nul est déterminé à 2 près.

Et ici, comme pour le module, tu vas trouver un résultat où figure .
Citation :
Cos=Cos(/2)
Sin=Sin(/2).
Citation :
Que penser de deux angles qui ont le même cosinus et le même sinus ?

Posté par
owusure : Nombre complexe1 08-01-21 à 14:17

Donc arg(z)=/2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 08-01-21 à 14:26

Oui.
Tu peux vérifier en développant \; 2cos(/2)( cos(/2) + i sin(/2) ) .

Posté par
owusure : Nombre complexe1 08-01-21 à 14:46

Ah oui je vois je me retrouve avec
1+Cos+iSin.

L'écriture exponentielle :
\large 2Cos(\frac{\theta }{2})e^{i\frac{\theta }{2}}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 08-01-21 à 14:59

Oui.

Posté par
owusure : Nombre complexe1 08-01-21 à 15:11

2) Calculons Z⁴
En utilisant la forme exponentielle.

\large Z^{4}=[2Cos(\theta /2)e^{i\theta /2}]^{4} =16Cos(2\theta )*e^{i2\theta }=16Cos(2\theta )(Cos(2\theta ) +iSin(2\theta ))

Finalement je trouve
Z⁴=8[1+Cos(4)+iSin(4)]

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 08-01-21 à 15:23

Il faut que tu fasses un peu attention à ce que tu écris

Depuis quand (cos(a))4 serait-il égal à cos(4a) ?

Posté par
owusure : Nombre complexe1 08-01-21 à 15:43

Désolé vraiment je suis un peu embrouillé. S'ils vous plaît m'autorisez vous à envoyer en image les calculs que j'aurai fait sur mon cahier ?car  ça me prendra beaucoup de temps de l'écrire encore sur le site

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 08-01-21 à 15:47

Non.
Donne les résultats.

Posté par
owusure : Nombre complexe1 10-01-21 à 18:20

Ok. En utilisant l'autre forme voilà ce que je trouve.
Z⁴=Cos4+4Cos3+6Cos2+4Cos+1+i(Sin4+4Sin3+6Sin2+4Sin)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 10-01-21 à 20:43

Oui.
Il te reste à calculer (2cos(/2)ei/2)4 en utilisant
(abc)4 = a4b4c4 .

Posté par
owusure : Nombre complexe1 11-01-21 à 15:04

Z⁴=16Cos⁴(/2)e^2i.

Je fais comment pour le Cos⁴()

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 11-01-21 à 17:20

Tu le laisse comme ça.
As-tu jeté un œil sur la question suivante ?
La consigne "Calculer" est un peu vague, c'est vrai.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe1 11-01-21 à 17:20

Tu le laisses

Posté par
owusure : Nombre complexe1 12-01-21 à 13:54

D'accord je vois. Pour la dernière question.
Z⁴=Z⁴ => Re(Z⁴)=Ré(Z⁴)
16Cos⁴(/2)Cos(2)=Cos4+4Cos3+6Cos2+4Cos+1

=>Cos⁴(/2)=(Cos4+4Cos3+6Cos2+4Cos)/16Cos2

Posté par
PLSVUre : Nombre complexe1 12-01-21 à 16:55

Bonjour,
Tu n'as pas terminé  la2)
2) Calculer Z⁴ de deux façons différentes (à partir de l'écriture exponentielle de Z puis à partir de Z=1+ei.

Posté par
owusure : Nombre complexe1 12-01-21 à 17:07

MaisSylvieg dans son  dernier message m'a dit de laisser ça ainsi

Posté par
PLSVUre : Nombre complexe1 12-01-21 à 17:16

2) Calculer Z⁴ de deux façons différentes (à partir de l'écriture exponentielle de Z
Z⁴=16Cos⁴(/2)e^2i.

reponse de Sylvieg, que je salue
Tu le laisses comme ça.
As-tu jeté un œil sur la question suivante ?
La consigne "Calculer" est un peu vague, c'est vrai.
suite de la question   2)
puis à partir de Z=1+e^i.

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