Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Nombres complexesTopics traitant de nombres complexes [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 3 +

Niveau terminale
Partager :

nombres complexes I

Posté par
E2NB 22-10-19 à 18:26

Bonsoir, j'ai un exercice qui me tracasse et j'aurai besoin d'aide.

Exercice:

Soit f une application qui à tout nombre complexe zi associe z' tel que:
z'=f(z)=i+\dfrac{2}{\bar{z}+i}

On note T l'application du plan complexe privé du point À d'affixe i A(i) dans le plan complexe défini par T(M)=M', M et M' les points d'affixes respectives z et z'.

1-
a-Calculer f(1) et f(2+i).
b-Résoudre l'équation f(z)=0

2-
a-Calculer arg[(z'-i)(\bar{z}+1)].
b-Que peut-on en déduire pour les points A, M et M' ?

3-
a-Exprimer l'affixe z" de M" =(ToT)(M) en fonction de z.
b-Que peut-on dire de (ToT) ?

4-On appelle (J) l'ensemble des points du plan invariants par T.
a-Démontrer que M(J) si et seulement si AM=2.

Caractériser géométriquement (J).

5-Dans cette question on suppose que z=1+i+ei où . On note B(1+i), point d'affixe.
a-Quelle est la courbe () décrite par le point M lorsque ]-g2;/2[.

Posté par
PLSVUre : nombres complexes I 22-10-19 à 19:02

Bonsoir,
    Où bloques-tu ?

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 22-10-19 à 19:32

Avant, je voudrais vous exposer mes travaux afin que vous me disiez s'ils sont corrects ou non.

Ma solution:

1-a-/ Calcul de f(1)

f(1)=i+\dfrac{2}{\bar{z}+i} =i+\dfrac{2(1-i)}{(1)^2+(1)^2} =\dfrac{2-2i}{2}+i =1-i+i=1
f(1)=1

Calcul de f(2+i)

f(2+i)=i+\dfrac{2}{2-i+i}=i+1
f(2+i)=1+i

1-b-/ Résolution de f(z)=0

J'ai du mal avec la saisie alors je vais directement vous donnez ma réponse:
\bar{z}=i donc S={i}.

Est-ce correct ?

Posté par
carpediemre : nombres complexes I 22-10-19 à 19:50

salut

Citation :
Soit f une l'application qui à tout nombre complexe zi associe z' tel que:
z' = f(z) = i + \dfrac {2} {\bar{z} + i}


Citation :
1-a-/ Calcul de f(1)

f(1)=i+\dfrac{2}{\bar{z}+i} =i+\dfrac{2(1-i)}{(1)^2+(1)^2} =\dfrac{2-2i}{2}+i =1-i+i=1
f(1)=1
incompréhensible !!!

pour calculer f(1) il suffit de remplacer z par 1 ...

bon en fait il y a un z* qui devrait être remplacé par 1 !!!

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 22-10-19 à 20:09

Je pensais qu'il ne fallait pas laisser des expressions avec "i" au dénominateur alors j'ai "rendu rationnel" en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur.

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 22-10-19 à 20:10

Le conjugué du dénominateur, je voulais dire.

Posté par
carpediemre : nombres complexes I 22-10-19 à 20:15

oui tout à fait !!

disons plutôt qu'en général on se débarrasse des i aux dénominateurs ... sauf quand il ne faut pas !!!

mais en fait tu as oublié simplement e remplacer un z !!

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 22-10-19 à 20:21

Lequel ?

Posté par
carpediemre : nombres complexes I 22-10-19 à 20:34

regarde la première étape ...

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 22-10-19 à 20:39

Je ne vois la pas le z que je n'ai pas remplacé, il n'y en a qu'un dans f(z).

Posté par
carpediemre : nombres complexes I 22-10-19 à 22:16

Citation :
1-a-/ Calcul de f(1)

f(1)=i+\dfrac{2}{\bar{z}+i} =i+\dfrac{2(1-i)}{(1)^2+(1)^2} =\dfrac{2-2i}{2}+i =1-i+i=1
f(1)=1
première étape ...

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 22-10-19 à 22:27

Je ne vois toujours pas.

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 22-10-19 à 22:33

Il y avait un \bar{z} au dénominateur, je l'ai remplacé par 1, ça m'a donné au dénominateur 1+i. Or, généralement, on ne laisse pas les "i" au dénominateur alors j'ai multiplié le dénominateur par son expression conjuguée. Ça donne (1+i)(1-i), on a la forme a2-b2 mais il se trouve que b2=-1 donc nous aurons a2+b2. D'où au dénominateur j'ai (1)2+(1)2.

Posté par
carpediemre : nombres complexes I 22-10-19 à 22:40

Citation :
1-a-/ Calcul de f(1)

f(1)=i+\dfrac{2}{{\red {\bold \bar {z} }}+i} =i+\dfrac{2(1-i)}{(1)^2+(1)^2} =\dfrac{2-2i}{2}+i =1-i+i=1
f(1)=1
première étape ... quand je mets en rouge la barre ne passe plus ...

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 02:14

Ce que je dois faire c'est remplacer le z par 1 et laisser l'expression de f(1) obtenue telle qu'elle sera ?

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 06:55

S'il vous plaît, soyez plus explicite, des heures se sont déjà écoulées et nous ne sommes jusqu'à lors qu'à la moitié de la première question, mais encore je ne suis pas sûr d'avoir saisi ce que vous vouliez me dire.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : nombres complexes I 23-10-19 à 07:04

Bonjour,
carpediem essaye de te faire comprendre que tu aurais du mettre 1 à la place de z tout de suite :

f(1)=i+\dfrac{2}{\bar{1}+i} = i+\dfrac{2}{1+i}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : nombres complexes I 23-10-19 à 07:08

Pour \bar{z} = i \; , remarque que c'est faux si tu remplaces z par i .

Utilise a = b \Leftrightarrow \bar{a} = \bar{b}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : nombres complexes I 23-10-19 à 07:12

Par ailleurs, i ne peut être solution car i annule le dénominateur.
L'énoncé dit bien " tout nombre complexe zi ".

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 07:12

Sylvieg @ 23-10-2019 à 07:04

Bonjour,
carpediem essaye de te faire comprendre que tu aurais du mettre 1 à la place de z tout de suite :

f(1)=i+\dfrac{2}{\bar{1}+i} = i+\dfrac{2}{1+i}

C'est ce que j'ai fait mais je n'ai pas laisser le "i" demeurer au dénominateur, devrais-je laisser 1+i au dénominateur ?

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 07:24

Sylvieg @ 23-10-2019 à 07:08

Pour \bar{z} = i \; , remarque que c'est faux si tu remplaces z par i .

Utilise  a = b \Leftrightarrow \bar{a} = \bar{b}

Que représentent a et b ?

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 07:27

Sylvieg @ 23-10-2019 à 07:12

Par ailleurs, i ne peut être solution car i annule le dénominateur.
L'énoncé dit bien " tout nombre complexe zi ".

C'est vrai.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : nombres complexes I 23-10-19 à 07:31

Tu as mis z dans l'expression juste après \; f(1) = \; . Le reste était correct.
Dans son message de 22h40, tu remplaces le z qui est rouge par \; \bar{1} ; tout le reste est bon.

Les lettres a et b représentent des complexes.

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 07:40

D'accord.

Je ne comprends pas l'allusion faite avec a et b. Ils représentent des complexes, oui mais lesquels plus précisément ?

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 07:45

Sommes-nous toujours dans la question 1.a ou la question 1.b ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : nombres complexes I 23-10-19 à 07:49

Citation :
Pour \bar{z} = i \; , remarque que c'est faux si tu remplaces z par i .

Utilise a = b \Leftrightarrow \bar{a} = \bar{b}

C'est pour corriger
Citation :
\bar{z}=i donc S={i}.
de ta résolution de 1)b).

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 07:55

Donc \bar{a}=\bar{b} tout comme a=b et a et b sont des complexes de z, donc \bar{a} et \bar{b} sont des complexes de \bar{z}. Que devient la solution ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : nombres complexes I 23-10-19 à 07:59

Tu as l'équation \; \bar{z} = i \; à résoudre.
Elle est de la forme \; a = b .
Donc équivalente à \; ... = ... \; .

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 08:01

a=b=i ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : nombres complexes I 23-10-19 à 08:07

a = b \; est équivalent à \; \bar{a} = \bar{b}
Donc
\bar{z} = i \; est équivalent à \; ..... = .....

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 08:10

a=i.

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 08:14

Une question: Pourquoi a=b ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : nombres complexes I 23-10-19 à 08:26

On laisse tomber ainsi.
Tu cherches z tel que \; \bar{z} = i
C'est à dire le complexe dont le conjugué est \; i .
Que proposes-tu ?

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 14:19

z=-i

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 14:22

Mon calcul de f(2+i) est-il correct ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : nombres complexes I 23-10-19 à 14:34

Oui, ton calcul de f(2+i) est correct.

Saurais-tu maintenant résoudre \; \bar{z} = 3+5i \; ?
C'est sans rapport avec l'exercice, mais pour te faire comprendre comment on peut résoudre ce genre d'équation.

L'énoncé de 2)a) ne va pas. redonne le. N'oublie pas de faire "Aperçu" avant de poster

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 14:52

Oui, je saurais le faire.

2-a)
Calculer arg[(z'-i)(\bar{z}+1)]

Posté par
Sylvieg Moderateurre : nombres complexes I 23-10-19 à 15:05

D'accord. A quoi est égal \; (z'-i)(\bar{z}+1) \; ?

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 15:07

0 d'après mes calculs.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : nombres complexes I 23-10-19 à 15:10

Non, ce n'est pas encore le bon énoncé à mon avis.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : nombres complexes I 23-10-19 à 15:12

Citation :
0 d'après mes calculs.
Non et de plus le nombre complexe 0 n'a pas d'argument...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : nombres complexes I 23-10-19 à 15:13

Retrouve le bon énoncé.

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 15:27

Oui, en fait c'est:
Arg[(z'-i)(\bar{z}+i)].

Et j'ai fait une erreur dans mes calculs.

Posté par
carpediemre : nombres complexes I 23-10-19 à 15:29

E2NB @ 23-10-2019 à 14:52

Calculer arg[(z'-i)(\bar{z}+1)]
Sylvieg @ 23-10-2019 à 15:10

Non, ce n'est pas encore le bon énoncé à mon avis.
oui je pense que c'est un i à la place de 1 ...

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 15:34

Oui, j'ai corrigé la faute.

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 15:45

Au calcule de (z'-i)(\bar{z}+i) j'obtiens 2.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : nombres complexes I 23-10-19 à 15:59

Bon, ben continue : arg(2)= ?

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 16:02

0[2]

Correct ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : nombres complexes I 23-10-19 à 16:20

Oui.

Posté par
E2NBre : nombres complexes I 23-10-19 à 16:51

D'accord. Que peut-on déduire de A, M et M' ?

1 2 3 +


Rechercher
Menu
Espace membre
8 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1741 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !