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Niveau Maths sup
Nombres complexes
Posté par nonoch
Bonjour à tous...
Voilà j'ai un souci quand à un exercice, j'ai résolu presque tout le problème, mais à la conclusion je n'arrive pas à démontrer l'inégalité demandée...
Voilà mon énoncé,
On désire prouver que pour tout nombre complexe z de module 1 on a :
3 
mod (1+z) + mod(1-z+z²) 13/4
On pose t = mod(1+z) dans quel intervalle se trouve t ?
Il se trouve dans [0,2]
Exprimez Re(z) à l'aide de t
t²= 2 + 2Re(z) => t = (2(1+Re(z))^1/2
Montrez que (mod(1-z+z²))² = 3 - 4Re'z) +2 Re(z²) je l'ai trouvé en passant en polaire...
ENsuite on doit exprimer Re(z²) en fonction de Re(z)
D'où : Re(z²) = 2Re²(z) -1
grâce à cela je peux déduire que
mod(1+z) + mod(1-z+z²) = t + mod(3-t²)
Mais c'est la question suivante qui me pose problème
En effet avec tout ce que j'ai fait juste avant je dois déduire l'inégalité demandée tout au début...
3 mod (1+z) + mod(1-z+z²) 13/4
on pourra éventuellement raisonner graphiquement. et trouver un complexe z qui rélise le minimum...
ce serait bien si quelqu'un pouvait m'aider...
Merci d'avance.
Bonsoir nonoch
Qu'est ce qui bloque? Le travail est fait.
Citation :
t + mod(3-t²)
t + mod(3-t²)
il suffit de montrer que cette fonction a un max de 13/4 non?
En fait le racine de 3 je vois pas trop d'où il vient car le min est 1 ?! Ya queq'chose qui m'échappe je vais chercher à moins que d'autres s'y intéressent. 
oui je sais que ce n'est pas compliqué mais je ne trouve ni le racine de 3 ni le 13/4
J'ai encadrer t + mod(3+t²) avec au départ t compris entre 0 et 2...mais je n'aboutis pas...
Bon reprenons. Tu as trouvé que
Citation :
t + mod(3-t²)
t + mod(3-t²)
Déjà le mod ne sert à rien car t c'est déjà une longueur, donc tu peux l'enlever.Ensuite, le fonction f(t) = t+(3-t^2) a une dérivée qui s'annule au point 1/2 non? Et f(1/2) = 13/4 et voilà le tour est joué.
Par contre le
Citation :
on pourra éventuellement raisonner graphiquement
, çà j'ai cherché mais je ne vois pas.
on pourra éventuellement raisonner graphiquement
Ensuite la susdite fonction admet un minimum au point 2 qui vaut 1 et c'est là que çà coince mais tu ne m'a pas laissé le temps de chercher. J'étais parti voir Arnold
Rectification je viens de voir mon erreur , il faut envisager deux cas selon que t^2 est supérieur ou non à 3 c'est dire étudier je pense t+ VA(3-t^2).Je cherche
Mille excuses pour ce contretemps
J'ai vérifier on étudie donc la fonction t+ VA(3-t^2)
et le minimum est bien racine de trois;
Est ce que çà ira ou bien d'autres précision .
Arnold c'est Shwartzenaigger
ha c'est pas grave
comment trouves tu le minimum en racine 3?? je ne vois pas comment on peut étudier...mis à part la dérivée..
donc si je te suis bien,
on étudie la dérivée pour trouver le maximum qui est de ce fait 13/4
et on étudie la fonction t + VA(3-t²) pour t > racine de 3...en remplaçant dans f(racine 3) = racine de 3? on doit le justifier comme cela?merci de me répondre
Oui la dérivée pour le max et pour le min, si t>V3 alors t^2>3 et 3-t^2<0 donc VA(3-t^2)= t^2-3 et cette fonction est croissante entre V3 et 2 donc le minimum est atteint au point V3.
Donc on a une parabole qui a son sommet à 1/2 la courbe descend puis arrivée à V3 il y a un point de rebroussement(anguleux si tu veux)et la courbe repart vers le haut.OK?
ok ça marche, j'ai fini par faire comme ça...je n'avais pas pensé à cela pour la courbe...un grand merci...puis si ce n'est pas trop vous demander...le complexe z se trouve comment? je repasse en polaire? calcul des modules? résolution pour mod(1+z) + mod(1-z+z²) = racine de 3??
je pencherai pour faire celà mais n'y a -t-il pas plus simple?
Pour la résolution graphique je peux la faire demain si tu veux.
Pour trouver z mini tu remplaces t=V3 dans mod(1+z) et comme mod z= 1 normalement tu dois trouver a et b sans doute deux solutions d'ailleurs.Mais peut être que en polaire çà marche.
Bonsoir nonoch
Citation :
ok je te remercie infiniment..
ok je te remercie infiniment..
Cà c'est très gentil mais ce fût un plaisir.
Pas besoin de s'embêter avec des polaires, c'est archi simple avec les modules et on trouve bien deux complexes minimaux de coordonnées (1/2;V3/2) et le conjugué.
J'ai fait la figure mais je n'arrive pas à la télécharger sue le site.
J'ai approfondi cet exo très intéressant , le lieu du point d'affixe correspondant à t+ mod(3-t^2) est une épitrochoïde.
Je vais essayer de mettre la figure sur le site.