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nombres complexes

Posté par
jawad 09-09-10 à 19:49

Bonsoir. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider avec un exercice?

Comment est-ce que je pourrait calculer Sn=|wk-1| tel que la somme est pour k=0 et n-1 et tel que pour tout entier n1, et w=e2i/n

Merci d'avance

Posté par
cailloux Correcteurre : nombres complexes 09-09-10 à 23:41

Bonsoir,

S_n=\Bigsum_{k=0}^{n-1}\left|e^{\frac{2ik\pi}{n}}-1\right|=\Bigsum_{k=0}^{n-1}\left|e^{\frac{ik\pi}{n}}(e^{\frac{ik\pi}{n}}-e^{-\frac{ik\pi}{n}})\right|

S_n=\Bigsum_{k=0}^{n-1}\left|2i\,\sin\,\frac{k\pi}{n}\,e^{\frac{ik\pi}{n}}\right|=2\Bigsum_{k=0}^{n-1}\left|\sin\,\frac{k\pi}{n}\right|

Or pour 0\leq k\leq n-1, \sin\,\frac{k\pi}{n}\geq 0

Donc: S_n=2\Bigsum_{k=0}^{n-1}\sin\,\frac{k\pi}{n}=2\text{Im}\left(\Bigsum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{ik\pi}{n}}\right)

A partir de là, je pense que tu dois retomber sur des choses connues...

En principe, au final:

S_n=\frac{2}{\tan\,\frac{\pi}{2n}}

Posté par
jawadre : nombres complexes 10-09-10 à 06:01

Merci beaucoup et bonne journee


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