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Nombres complexes

Posté par
lucasdup 18-10-15 à 14:21

Bonjour,

on me demande de développer (cos() + i sin())^5 avec la formule du binôme de Newton.

ça c'est bon.

et puis d'en déduire une expression de cos5 en fonction de cos et de sin

là je ne trouve pas puisque je n'ai pas de cos5 dans l'expression développée, mais seulement
5cossin^4

merci

Posté par
luzakre : Nombres complexes 18-10-15 à 14:24

Bonjour !
Tu ne sais pas que \cos\theta+i\,\sin\theta=e^{i\theta} et (e^{i\theta})^5=e^{5i\theta} ?

Posté par
ThierryPomare : Nombres complexes 18-10-15 à 14:26

Bonjour,

e^{i\,a}=\cos\,a+i\,\sin\,a

Donc

e^{i\,5\,a}=\cos\,5\,a+i\,\sin\,5\,a=\left(e^{i\,a}\right)^5=\cdots

Vois-tu ?

Posté par
lucasdupre : Nombres complexes 18-10-15 à 14:36

si les formules de Moivre, mais je vois pas où est la deduction ?

Posté par
ThierryPomare : Nombres complexes 18-10-15 à 14:37

Ecris, et tu verras !

Posté par
lucasdupre : Nombres complexes 18-10-15 à 15:14

bon disons  ... mais ca me donne


cos5 = cos^5() - 10 cos^3() sin^2() + 5 cos()sin^4()


c'est pas vraiment en fonction de cos et sin

Posté par
ThierryPomare : Nombres complexes 18-10-15 à 15:18

Ah bon ! Etrange !! Je n'ai pas vérifié tes calculs. Posons

f(x,\,y)=x^5-10\,x^3\,y^2+5\,x\,y^4

N'a-t-on pas \cos\,5\,a=f(\cos\,a,\,\sin\,a) ?


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