Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Norme, produit scalaire et identité du parallélogramme

Posté par
Kernelpanic 17-11-19 à 12:03

Bonjour à tous,

dans notre cours sur les espaces Hilbertien, notre professeur nous a dit que toute norme vérifiant l'identité du parallélogramme provient d'un produit scalaire sans nous donner de démo faute de temps. Je me suis lancé dans cette démonstration mais je bloque totalement. En me plaçant dans le corps des complexes, j'ai trouvé une identité de polarisation mais je ne sais pas si c'est la meilleure pour cet exercice... si il en existe une qui permet de résoudre cet exercice plus facilement, je suis preneur. J'introduis mes notations (libre à vous de les modifier) :

$E ~ \text{un} ~ \C-ev, \\ h : E \times E \to \C ~ \text{une forme sesquilinéaire à droite (oui désolé, c'est à droite ici...)}, \\ \varphi : E \to \C ~ \text{l'application telle que} ~ \forall u \in E : \varphi(u) = h(u,u). \\ \\ \forall u,v \in E : h(u,v) = \dfrac{1}{2}[ \varphi(u+v) + i \varphi(u + iv) - (1+i) ( \varphi(u) + \varphi(v) ) ]$

Soit donc notre norme $\| . \|$ sur E qui vérifie l'identité du parallélogramme.
En utilisant la formule de polarisation écrite au dessus, j'ai posé :

$h(u,v) = \dfrac{1}{2}[ \|u+v\|^2 + i \|u + iv\|^2 - (1+i) ( \| u \|^2 + \| v \|^2)]$

et je cherche à démontrer que :

- h est une forme sesquilinéaire à droite
- h est à symétrie hermitienne
- h est définie positive

j'ai pu montrer la dernière proposition, la deuxième je travaille encore dessus (je viens de me rendre compte en écrivant le sujet que j'avais oublié l'hypothèse sur l'identité du parallélogramme, à mon avis ça joue pas mal ici) mais je bloque totalement pour montrer la sesquilinéarité... quelle est l'astuce ? Merci d'avance !

Posté par re : Norme, produit scalaire et identité du parallélogramme 17-11-19 à 12:06

Bon, en utilisant l'hypothèse, j'ai réussi à prouver que h est à symétrie hermitienne. Sesquilinéarité, à nous deux !

Posté par re : Norme, produit scalaire et identité du parallélogramme 17-11-19 à 12:08

Bonjour,
Tu peux le faire pour un R-ev d'abord. C'est essentiellement la meme preuve.
Prouve que la forme que tu obtiens est bi-additive et continue, et donc qu'elle est R-bilinéaire, puis regarde ce que tu peux dire pour l'antilinéarité (par exemple en regardant la partie réelle sur le sous espace réel sous jacent) si tu veux en déduire le cas complexe.

Posté par re : Norme, produit scalaire et identité du parallélogramme 17-11-19 à 12:12

Ça marche mokassin, merci, je reviens un peu plus tard si je n'y arrive pas

Posté par re : Norme, produit scalaire et identité du parallélogramme 18-11-19 à 09:27

Le lien contient le message suivant qui devrait te suffire :

Soit $\Phi(x,y)=\Bigl\lVert{\dfrac{x+y}2\Bigr\rVert^2-\Bigl\lVert\dfrac{x-y}2\Bigr\rVert^2$ (c'est la partie réelle du produit hermitien que tu proposes).
Tu commences par montrer que $\Phi$ est $\R-$ bilinéaire symétrique avec les étapes suivantes :
$\Phi$ symétrique.
$\forall(x,y)\in E^2,\;\Phi(2x,y)=2\Phi(x,y)$ (définition de $\Phi$ et relation du parallélogramme).
$\forall(x_1,x_2,y)\in E^3,\;\Phi(x_1+x_2,y)=\Phi(x_1,y)+\Phi(x_2,y)$ (utiliser la question précédente en introduisant $2x_1,\;2x_2$ ).
$\forall(\alpha,x,y)\in \R\times E\times E,\;\Phi(\alpha x,y)=\alpha \Phi(x,y)$ (dans l'ordre : $\alpha\in\N,\;\alpha\in\Z,\;\alpha\in\Q,\;\alpha\in\R$ en utilisant la continuité de $x\mapsto\Phi(x,y)$ ).

Ensuite prendre le produit hermitien que tu proposes et montrer la propriété de conjugaison et la propriété de multiplication par $\mathrm{i}$ .

...........................................................
Ci-après, un pdf" tout rédigé
malou edit > ***pdf rapatrié***

Posté par re : Norme, produit scalaire et identité du parallélogramme 18-11-19 à 17:13

Bonjour luzak, merci pour le lien, je m'étais bien inspiré du topic partagé pour résoudre mon problème. Néanmoins je te suis infiniment reconnaissant pour ce pdf aussi bien rédigé, je vais me l'imprimer histoire de pas paumer la démo !

Posté par re : Norme, produit scalaire et identité du parallélogramme 19-11-19 à 08:13

Tu devrais aussi remercier malou qui a eu la gentillesse de mettre le fichier à ta disposition !

Posté par re : Norme, produit scalaire et identité du parallélogramme 19-11-19 à 09:09

pas de souci, c'est avec plaisir !
Bonne journée à tous les deux !

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