Le mot "occurrence" désigne le fait d'apparaître. Par exemple: "le nombre d'occurrences d'un mot dans un texte" est le nombre de fois où ce mot apparaît dans le texte. Je n'ai pas connaissance que "occurrence" ait un sens mathématique plus particulier. Je ne vois pas non plus dans quel contexte tu te places pour chercher une différence de signification ou une relation entre les significations, ni ce que peut vouloir dire une occurrence "liée" ou "libre".

pour la formule au dessus la question été :
déterminer les occurrences liées et libre et les variable liées et libre c'est pour cela que je cherche la différence entre les deux
in dit que x est liée si elle se trouve dans le champ d'un x ou x

J'ai du mal à comprendre cette question. Peut-être parce qu'il s'agit d'un exercice sur un cours de logique et que je ne suis pas très compétent dans ce domaine. Rien dans tes cours qui pourraient te permettre d'éclairer cette question ? A priori, dans la phrase complète

X   Y (P(X, Y) Z R(X, F(Y,Z)))


toutes les variables sont liées puisqu'elles sont toutes derrière un quantificateur les concernant. Mais elles ne le sont pas toutes à un niveau de profondeur donné dans l'emboitement des quantificateurs. C'est peut-être quelque chose comme ça qu'on veut te faire dire. Par exemple dans

Z R(X, F(Y,Z))

il y a une occurrence libre de X, une occurrence libre de Y, une occurrence liée  de Z. En remontant l'emboitement, dans

Y (P(X, Y) Z R(X, F(Y,Z)))

je dirais qu'il y a deux occurrences libres de X, deux occurrences liées de Y, une occurrence liée  de Z.

Mais je suis peut-être à côté de la plaque par rapport à la question qu'on te pose.