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Bonne après-midi robby3 
Kaiser essayait simplement de te faire comprendre qu'intégrer une fonction f sur Bk, c'est intégrer le produit de f par quelque chose de simple sur tout l'espace...et ainsi appliquer le théorème de Beppo-Lévy
Ne perds pas ton intuition en cours de route robby3...
L'essentiel est de te rappeler qu'on cherche à utiliser la question 1, donc que les Bk (qui forment une suite décroissante) sont de mesure de plus en plus petite (que vaut la mesure de leur intersection?), ce qui implique que leurs complémentaires Ck sont de mesure de plus en plus grande...
ce qui permet d'émettre une conjecture précieuse quant à la limite de l'intégrale de f sur les Ck... 
Tigweg
Salut Tigweg !
Cela te dérangerai-t-il de rappeler le théorème de Beppo-Levi, à moins qu'il n'ait déjà été rappelé précédemment, je n'ai pas tout lu ^^
Merci ^^
Salut fusionfroide!
C'est tout simplement le théorème de convergence monotone:
Toute suite croissante de fonctions mesurables positives d'un espace mesuré
vers
et de limite simple f (f peut prendre comme valeur l'infini) vérifie:
.
Tigweg
Re,
donc que les Bk (qui forment une suite décroissante) sont de mesure de plus en plus petite (que vaut la mesure de leur intersection?), ce qui implique que leurs complémentaires Ck sont de mesure de plus en plus grande...
>On a
je suis d'accord avec ce que tu marques.
Donc là on a bie utilisé 1).
Aprés quel et le rapport avec la suite de fonctions à trouver et lez theoreme de Beppo-Levi??
Le théorème de Beppo-Lévy met en parallèle la croissance d'une suite de fonctions et l'intégrale de sa limite.
Ici c'est les Ck qui sont croissants.Comment en déduire une suite de fonctions croissante faisant intervenir f et les Ck?
Le théorème de Beppo-Lévy met en parallèle la croissance d'une suite de fonctions et l'intégrale de sa limite.
Ici c'est les Ck qui sont croissants.
>OUI!
Comment en déduire une suite de fonctions croissante faisant intervenir f et les Ck?
> par grand hasard je dirais
Ca c'est vraiment de la chance!!
donc j'ai ma fameuse suite de fonctions croissantes...
qui tend vers
il semblerait que je puisse appliquer Beppo-Levi...
Donc:
c'est bien ça.?
Ah non!
Une fois que k tend vers l'infini, k disparaît!
Tu dois donc:
1)montrer que la suite est bien croissante
2)Trouver sa limite.
1)Montrons que le suite est bien croissante.
>est-ce qu'on fait betement
??
En fait je saisi pas trop...on a
pour moi:
(est-ce ça déjà je l'ai compris?Est-ce que c'est bien comme ça qu'on définit
? )
et ensuite pourquoi on ne choisit pas croissante??pourquoi faut le redémontrer si on la choisit telle quelle?
a)
est-ce qu'on fait betement...?
>Oui, par exemple, sauf que y a un k du premier terme qui devrait être un k+1, en indice de C!
b)f est une fonction de O vers R, et Ck est une partie de O.
Les éléments de Ck ne sont pas des fonctions!
Si x est dans O,
Autrement dit
c)
pourquoi faut le redémontrer si on la choisit telle quelle?
>Qu'est-ce que tu me chantes là, on l'a pas choisie croissante, on a posé
Il faut prouver qu'elle est croissante!!
Qu'est-ce que tu me chantes là, on l'a pas choisie croissante, on a posé
Oui, par exemple
>Je fais donc:
car f est la limite d'une fonction positive et
non?
eh bien:
si x est dans Ck,il est dans Ck+1 car les Ck sont croissants donc la différence vaut0
si x n'est pas dans Ck mais qu'il est dans Ck+1,la différence vaut 1>0
si x n'est ni dans Ck ni dans Ck+1 alors la différence vaut 0
je crois que j'ai fait le tour.
(qu'en je parle de la différence c'est )
est-ce bien correct?
Oui, parfait!
Je voulais m'assurer que tu comprenais mieux le sens des fonctions caractéristiques qu'avant!
tu me la bien expliqué maintenant c'est parfait!
Donc on a bien notre truc croissant.
Maintenant j'applique le petit Beppo-Levi...non?
non?
C'est l'intégrale de la limite simple de la suite de fonctions sous l'intégrale...
Prends un x, regarde ce que donne fk(x), puis trouve la limite quand k tend vers l'infini Tu obtiens un élément de R, mais qui dépend de x...D'où ta limite simple(qui elle est une fonction de x)!
Mais ça dépend bien du fait que x est dans Ck ou pas??
parce que quand k->oo,Ck->Coo?? ça signifie quoi,que forcément à un moment donné x sera dedans?
donc la limite c'est f(x) tout cours?
Tu sembles oublier comment sont définis les Ck!
L'intersection des Bk est un ensemble B de mesure nulle, donc la réunion C des Ck est le complémentaire de B dans O.
Soit x dans O.Pour la limite simple des fk, on peut se restreindre au complémentaire d'une partie de mesure nulle, donc par exemple à C.
x apprtient à C signifie qu'il existe k tel que x appartienne à Ck.
Alors fp(x) vaut 1 dès que p>k puisque pour p>k, Ck est inclus dans Cp donc x appartient à Cp.
La suite fp(x) est donc stationnaire à partir du rang k et vaut f(x).C'est donc aussi sa limite.
Cela prouve bien que la limite simple de fp est f, en tout cas sur C.
A présent, on ne raisonne que sur C, puisque les ensembles de mesure nulle ne changent pas la valeur d'une intégrale!
Applique donc ton théorème de Beppo-Lévy, à présent!
L'intersection des Bk est un ensemble B de mesure nulle, donc la réunion C des Ck est le complémentaire de B dans O.
>OUI!
Pour la limite simple des fk, on peut se restreindre au complémentaire d'une partie de mesure nulle, donc par exemple à C.
>est-ce que c'est parce que les ensembles de mesure nulle ne changent pas la valeur d'une intégrale ??
x apprtient à C signifie qu'il existe k tel que x appartienne à Ck.
>OUI!
Alors fp(x) vaut 1 dès que p>k puisque pour p>k, Ck est inclus dans Cp donc x appartient à Cp.
>ah mais oué,on découpe en deux...Ok j'ai compris!
J'applique donc Beppo-Levi:
c'est ça??
non c'est toujours pas ça,je le sens,ça se voit...ça sonne pas bien...
Bon désolé mais j'ai du mal...?!
Attend Tigweg...je confond tout là
je suis ubmergé sous les formules farfelus
quoi qu'est bon??
est-ce que
??
et est-ce que
??
bah c'est surtout que ça métonne,ça me déçois pas...j'ai l'impression de comprendre ce qu'on fait(chose trés rare en intégration!! ) mais des fois je confond,je dis des trucs intuitif pas trop réfléchi...
Bref,si c'est bon continuons!
la prochaine étape c'est quoi?
(une chose m'inquiete quand meme: ce qu'on a montré là,c'est ce que Kaiser appel "commence par montrer..." j'imagine que c'est pas encore fini!! )
Ah non, on n'y est pas encore lol!
Patience!Tu as prouvé que l'intégrale de f sur les Ck tend vers M=intégrale de f.(nombre fini).
Utilise ensuite que les Bk sont les complémentaires des Ck.
Qu'en déduis-tu sur la limite de l'intégrale de f sur les Bk?
Bon je vais le dire autrement:
sans utiliser pour l'instant les Ak, décompose pour tout k l'intégrale de f sur O en la somme des intégrales de f sur Bk et Ck, puis déduis-en ce que je t'ai demandé au message précédent en faisant tendre k vers l'infini.
Salut H!
Oui, pauvre robby, il ne pourra même plus chanter "Come on, hold may haaand, I wanna contact the Living..."
(vu qu'il est dans l'abstraction la plus totale )
humm
Donc:
car sur les Bk(comme c'est les complémentaires des Ck,c'est nulle non?)l'intégrale est nulle pour tout k non?
a moins qui y'est un truc suspect encore...genre k>p c'est dans Bk et k<= c'est dans Ck...
non?
( yep H!)
c'est de la folie! mon premier exo d'intégration!!
j'apprend sur le tas...heuresement Kaiser et Tigweg sont là!
En fait je te parlais d'intégrer f, pas fk
L'intégrale n'est pas nulle pour tout k dans ce cas, c'est plus simple!
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