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paramétrisation rationnelle de U\{-1}

Posté par
Marie-C 21-09-07 à 20:51

Bonsoir, bonsoir

J'ai une petite question.
On cherche les intersections de la droite y=tx+t et du cercle x²+y²=1

Ainsi, on a :

\{{x^2+y^2=1\atop y=xt+t}
soit \{{x^2+t^2(x^2+2x+1)=1\atop y=tx+t}
d'où
\{{x+\frac{t^2}{1+t^2}x+\frac{t^2-1}{t^2+1}=0\atop t=tx+t}
Je ne comprends pas comment l'on passe de la ligne précédente à celle-ci.
Puis, comment obtient on
\{{x=\frac{1-t^2}{+t^2}\atop y=\frac{t}{+t^2}}?

Merci d'avance

Posté par
Tigweg Correcteurre : paramétrisation rationnelle de U\{-1} 21-09-07 à 21:27

Bonsoir,

je dirais plutôt:

x^2+\frac{2t^2}{1+t^2}x+\frac{t^2-1}{1+t^2}=0.

Ce trinôme du second degré en x a pour discriminant

\frac{4t^4-4(t^2-1)(t^2+1)}{(1+t^2)^2}=\frac 4{(1+t^2)^2}>0,


et donc pour racines

\frac{\frac {-2t^2}{1+t^2}+\frac{2}{1+t^2}}{2}=\frac{1-t^2}{1+t^2}

et

\frac{\frac {-2t^2}{1+t^2}-\frac{2}{1+t^2}}{2}=-1.

Or si x vaut -1, y vaut trivialement 0, donc à part le point (-1,0) qui est à l'intersection de chaque droite du type y=tx+t et du cercle unité, cette droite recoupe le cercle au point de coordonnées

(x=\frac{1-t^2}{1+t^2};y=\frac{2t}{1+t^2}).


Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : paramétrisation rationnelle de U\{-1} 21-09-07 à 21:34

Remarque d'ailleurs qu'onobtient également cette paramétrisation du cercle unité en posant pour s compris entre -\pi et \pi strictement:

t=tan(s/2), de sorte que, d'après les formules de trigo usuelles, le paramétrage précédent s'écrit encore:


(x=cos s;y=sin s),

ce qui est satisfaisant sur un plan moral!

Ce cercle est bien entendu privé du point d'abscisse curviligne \pi, qui se trouve (tout se tient!) précisément être le point (-1;0).



Tigweg

Posté par
Marie-Cre : paramétrisation rationnelle de U\{-1} 21-09-07 à 21:35

Merci pour ta réponse.
Cependant, je ne vois toujours pas comment on passe de l'égalité
x²+t²(x²+2x+1)=1 à la ligne suivante.

Posté par
Tigweg Correcteurre : paramétrisation rationnelle de U\{-1} 21-09-07 à 21:38

OK!

Il suffit de mettre x² en facteur de (1+t²), de mettre x en facteur de 2t²,de mettre le 1 de droite à gauche et de diviser chaque terme par (1+t²).

Posté par
Marie-Cre : paramétrisation rationnelle de U\{-1} 21-09-07 à 21:50

Ok, je te remercie beaucoup.

c'est plus clair grâce à toi.

Posté par
Tigweg Correcteurre : paramétrisation rationnelle de U\{-1} 21-09-07 à 21:53

Je t'en prie.


Tigweg

Posté par
H_aldnoerre : paramétrisation rationnelle de U\{-1} 22-09-07 à 00:11

(dis moi tigweg, à -pi c'est fermé, et à pi c'est ouvert, c'est pour décrire une seule fois le cercle unité ?)

Posté par
Tigweg Correcteurre : paramétrisation rationnelle de U\{-1} 22-09-07 à 01:37

Non H, c'est ouvert en -pi ET en pi, sinon tan(s/2) n'est pas défini.
Ainsi le couple (cos t, sin t) décrit tout le cercle privé de (-1;,0) une seule fois.


Tigweg

Posté par
H_aldnoerre : paramétrisation rationnelle de U\{-1} 22-09-07 à 12:55

Merci!

Posté par
Tigweg Correcteurre : paramétrisation rationnelle de U\{-1} 23-09-07 à 17:06

Je t'en prie!


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