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partie entière
Bonjour,
Je suis en ce moment en pleine révision et dans le cadre de mes révisions, on m'a proposé de faire ce sujet. Cependant, je n'arrive pas du tout à le faire. Je vous le soumets donc en espérant que vous pourrez m'aider.
Soit f définie de R dans R par pour tout x de R f(x)=x-(partie entière de x)
On note Fx={f(nx);n appartenant à N*}
1 Vérifiez que pour tout x, 0<f(x)<1
2 Vérifiez que pour tout x et pour tout k appartenant à Z, on a f(x+k)=f(x)
3 Montrez que pour tout x et tout p appartenant à Z,f(px)=f(pf(x))
4 Montrez que x est rationnel si et seulement si il existe v appartenant à N* tel que f(vx)=0
5 Soit x un nombre rationnel
a) Soit n appartenant à N* et r le reste de la division euclidienne de n par v. Montrez que f(nx)=f(rx)
b) En déduire que Fx est fini
6)Soit x irrationnel
Montrez que Fx admmet une borne inf positive ou nulle notée s
a) Vérifiez que s<(s+1)/p avec p le plus petit élément de {k appartient N tel que ks>1}
b) Montrez l'existence d'un entier n de N* tel que s>f(nx)<(s+1)/2
3) Montrez que pour tout epsilon>0 il existe n de N* tel que 0<f(nx)<epsilon
Montrez que tout intervalle ouvert a,b avec 0<a<b<1 contient un élement de Fx
Je vous serai infiniment reconnaissant de pourvoir m'indiquer les solutions de cet exercice.
Merci d'avance
Bonjour, je ne peux pas t'aider, car c'est trop dur pour moi, mais tu devrais faire une recherche avec le moteur de l'île, il y a des exos dans ce genre.
1 Vérifiez que pour tout x, 0<f(x)<1
Il y a un problème avec cette affirmation, car si x est un entier, on a f(x) = 0
J'ai déjà regardé dans tous les exercices mais je n'ai rien trouvé de comparable. Sinon, en effet , c'est bien inférieur ou égal dans la question 1.
En attendant une réponse, bonne soirée .
Je te fais le début.
On sait que
E(x) 
x < E(x) + 1
je retire partout E(x)
E(x)-E(x) x -E(x) < E(x) + 1 - E(x)
on trouve
0 x -E(x) < 1
et donc
0 f(x) < 1
CQFD
2 Vérifiez que pour tout x et pour tout k appartenant à Z, on a f(x+k)=f(x)
On sait que E(x+k) = E(x) + k
Cherchons f(x+k)
f(x+k) = x+k - E(x+k)
= x+k - (E(x) + k)
= x+k - E(x) - k
= x - E(x)
= f(x)
CQFD
Je te remercie pour ces réponses.
Si quelqu'un pouvait m'aider ce soir ou demain, ça m'arrangerait. Merci d'avance.
Je pense que ce problème n'est pas trop difficile mais je ne comprends pas. Alors, j'attends votre aide. Merci à tous.
Bonsoir à tous
Borneo>
je ne peux pas t'aider, car c'est trop dur pour moi,
Dis-moi Borneo, tu te sous-estimes !
kilian>
Pour la question 3), pars de f(pf(x)) en explicitant pf(x) et, pour faire le moins de calcul possible, utilise la question 2).
Kaiser
Pour la 4), tu sais qu'un rationnel x se met sous la forme avec p et q deux entiers avec q non nul, donc...
Kaiser
J'avoue que ces indications ne m'aident pas beaucoup. Pour la question 3, je ne vois pas comment expliciter f(px) et pour la question 4, je suis parti de votre indication mais il s'agit d'un si et seulement si et donc il y a deux sens à prouver et je n'y arrive pas.
Pouvvez-vous me corriger ces questions ? Merci d'avance. Je vais essayer de vous envoyer ce que j'ai fait. En tout cas, vois conseils me sont utiles. Je vous remercie et attends la suite avec imaptience.
Je n'ai pas dit d'expliciter f(px) mais pf(x) (en fonction de x, bien sûr).
Pour le "si seulement si", on va commencer par prouver que s'il existe nu entier tel que f(vx)=0, alors x est un rationnel.
Pour cela, réponds d'abord à cette question : quels sont les réels qui vérfient f(y)=0 ?
Kaiser
Les réels qui vérifient f(y)=0 sont forcément des entiers.
vx est un certain entier p, alors on a , donc x est rationnel (on a le droit de diviser par v car v est non nul).
Kaiser
Bon, alors juste la 3
3 Montrez que pour tout x et tout p appartenant à Z,f(px)=f(pf(x))
f(pf(x)) = f( p(x - E(x)) = f(px - pE(x)) (on a pE(x) appartient à Z)
et comme au 2 on a vu que pour tout k appartenant à Z, on a f(x+k)=f(x)
f(pf(x)) = f(px)
Borneo> J'espère que tu n'as pas mal pris mon premier message.
On n'est jamais trop prudent sur Internet !
Kaiser
Merci pour ce début de réponse. Est-ce que vous pourriez encore me donner des indications pour les autres questions ?
En tout cas, c'est vraiement très gentil de votre part de m'aider.
Il reste encore l'autre sens pour la question 4) : si x est rationnel, il faut montrer l'existence d'un entier non nul tel que f(vx)=0.
Une idée ?
Kaiser
Pas du tout Kaiser, ça m'a motivée à chercher. Mais comme c'est vraiment très loin (à supposer que j'ai fait ça un jour...) je n'irai pas plus loin.
Aider les élèves en cherchant les définitions sur wikipédia, ce n'est pas très sérieux 
Kilian> plus simple !
Borneo> OK, je suis rassuré !
Aider les élèves en cherchant les définitions sur wikipédia, ce n'est pas très sérieux
:D
Kaiser
kilian> franchement plus simple !
On suppose que x est rationnel, donc il existe p et q deux entiers avec q non nul tel que .
On cherche à montrer l'existence d'un entier v tel que f(vx)=0, c'est-à-dire tel que vx est un entier. Il n'y a pas tellement le choix !
Kaiser
Comme x est rationnel, et que vx est un entier, il faut démontre que v est entier ?
Non, v c'est un entier que l'on cherche à déterminer et qui doit est tel que vx doit être un entier. Que proposes-tu pour v ?
Kaiser
Si vous voulez, je vais y réfléchir cette nuit et à ce moment là, on peut passer aux autres questions. Je vous mettrais un post sur le forum si je trouve pour cette question.
Pour tout entier v, on a (je rappelle que p et q sont également des entiers).
On veut que cette fraction soit en réalité un entier.
À quelle condition sur v est-on sûr que c'est bien un entier ?
Kaéiser
Cette fraction est un entier si vp est divisible par q.Or p est un entier, donc v nécessairement. v doit s'écrire v=aq/p avec a entier
On n'a pas besoin de montrer que v est un entier : on le sait déjà !
De plus rien ne nous dit que est un entier (d'ailleurs, c'est faux).
Il suffit de prendre v=q et c'est terminé.
Kaiser
Pour la question 5, on écrit n=pq+r et on calcule f(nx). Or, j'ai essayé de faire ça et j'ai trouvé f(nx)=f(px)
En plus, je crois que j'ai fait une erreur , j'en déduis que ce que j'ai fait est faux.
Alors, on a n=av+r
f(nx)=f(nf(x))
Mais je ne vois pas en quoi ça m'aide.
Effectivement, il faut faire ça.
Ensuite, tu utilises que n=av+r, tu essaies de faire apparaître du f(vx) et utilise plusieurs fois la question 3.
Kaiser
je trouve f(nx)=avf(x)+rf(x) est ce que je suis bien parti ?
oui pardon j'avais oublié ce f mais par contre, je suis bloqué après cette étape .
Au temps pour moi, je me suis trompé, il ne faut pas utiliser ça. 
Ecris simplement que et utilise plutôt la question 2.
Kaiser
c'est ce que j'ai utilisé et j'obtiens
f(nx)=f(avx+rx)
=av(x-E(x))+r(x-E(x))
=avf(x)+rf(x)
Attention, f n'est absolument pas linéaire.
On sait que f(vx)=0 donc vx est un entier donc ...
Kaiser
comme vx est entier alors f(vx)=0 donc on trouve f(nx)=f(rx). Et voilà encore une question de résolue. Pourquoi peut-on dire que cet ensemble est fini ?
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