(p-1)s<1

tout simplement !

Kaiser

Merci, donc pour la question b, je comprends le côté gauche de l'ingéalité mais le côté droit reste une énigme pour moi.

Pour la 6)b), il faut bien montrer que pour tout n, ?

Kaiser

oui

Euh non pardon il ne s'agit pas d'un 2 mais d'un p

Mais ça ne m'aide pas pour autant. Pareil pour la toute dernière question, je ne vois pas du tout comment faire ?Enfin pour la dernière question, c'est plutôt un problème de rédaction de la question.

Pour l'instant, je ne trouve pas mais je continue à chercher.

Kaiser

Par conséquent, auriez-vous la gentillesse de me faire la rédaction de la dernière question ?
Je vous remercie en tout cas pour tout.

Merci, c'est gentil de votre part de chercher.

Tu peux me tutoyer !

Kaiser

D'accord mais ça ne change rien au fait que c'est très gentil.

J'avais mal lu l'énoncé ! Il ne faut pas montrer que cette inégalité est tout le temps vraie mais qu'il existe un entier n non nul qui la vérifie.
Je te propose de raisonner par l'absurde.
Que se passe-t-il si un tel entier n'existe pas ?

Kaiser

Si un tel entier n'existe pas, c'est qu'il vérifie l'ingéalité inverse.

Oui, donc ça voudrait dire que pour tout entier n, la double inégalité est fausse.
Comme l'inégalité de gauche est toujours vraie (par définition de s), alors ça veut dire que c'est l'inégalité de droite qui est toujours fausse, autrement dit pour tout n, on a .

Est-ce possible ?

Kaiser

Non

Mais je ne vois pas comment l'expliquer.

Pourquoi ?

Kaiser

ah OK !
Utilise la caractérisation de la borne inférieure : c'est le plus grand des minorants !

Kaiser

Par exemple, si on prend comme valeur pour s, ça ne marche pas on trouve 3<f(nx)<2

Déjà, on doit avoir ce résultat tout le temps donc un cas particulier ne suffit pas, mais c'est lidée (on doit obtenir une inégalité absurde de ce genre).

Kaiser

On sait que s est le plus grand des minorants donc s+1/2 ne peut pas être plus petit que s

Je croyais que c'était ?
Par contre, ce que tu dis est faux, comme s est le plus grand des minorants, alors est plus petit que s.
Et donc ?

Kaiser

Comme s+1/p est plus petit que s alors f(nx) ne peut pas être inférieur à ceci.
Je pense que là ça doit être bon enfin j'espère comme ça il ne reste plus que la dernière question.

S+1/p

Justement, on a supposé que tours les f(nx) étraient supérieurs à ce truc, donc c'est pas étonnant.
Ce que je te demande est d'en déduire une inégalité entre s et .

Kaiser

s+1/p<s

oui, car s étant le plus grand des majorants, somme est un majorant, alors on a nécessairement cette inégalité (qui, a priori, est large, bien entendu).

Pourquoi est-ce absurde ?

Kaiser

Désolé, il faut plutôt lire "minorant" au lieu de "majorant" !

Kaiser

C'est absurde car on dit que s<f(nx)<s+1/p or s est supérieur à s+1/p

C'est bien ça.
Il faut bien sûr préciser que cette dernière inégalité est stricte, sinon on ne peut pas conclure.

Kaiser

D'accord. Et bien voilà, il ne nous reste plus qu'une question mais ce n'est pas la plus facile je pense.

OK mais quelque chose semble bizarre !
La question suivante implique nécessairement que s=0 alors que dans les questions d'avant, on était forcés de supposer s non nul. N'y a-t-il pas un problème ?

Kaiser

Non il n'y a pas de problème j'ai oublié de mettre que dans ce cas là, on suppose que s=0

OK, donc dans les questions suivantes, on supposait bien que s était non nul, donc ?

Dans ce cas, c'est assez simple, il faut encore et toujours utiliser une caractérisation de la borne inférieure.
Si s=0, qu-est-ce ça implique ? Pourquoi existe-t-il un tel entier n ?

Kaiser

Kaiser

JE ne vois pas du tout comment l'expliciter.

Si tu veux, tu peux aussi raisonner par l'absurde comme tout à l'heure.

_{Maintenant, je dois te laisser pour aller manger (je reviendrais tout à l'heure )}

Kaiser

D'accord, je reviendrais tout à l'heure aussi à ce moment là si tu veux bien me dire quand tu seras de retour.

Me revoilà !
Alors, as-tu réussi par l'absurde ?

Kaiser

Non pas vraiment.

Il faut faire la même chose que pour la question où il fallait démontrer l'existence d'un entier n tel que (regarde à partir du message de 11h35).

Kaiser

On veut alors prouver que l'inégalité vu plus haut est fausse ?

J'ai l'impression que je m'embrouille.

J'ai compris qu'il faut réutiliser l'inégalité contenue dans le post de 11H35 mais je ne vois pas en quoi cela m'avance.

Je n'ai pas dit de réutiliser cette inégalité mais de réutiliser le raisonnement employé pour établir cette inégalité.

Kaiser

Oui mais là je suis totalement perdu je crois. Je ne vois vraiment pas ce que je dois faire.

Soit .
Montrons qu'il existe n tel que

Supposons par l'absurde que ce ne soit pas le cas.
L'inégalité est toujours vérifiée, car d'une part, f est positive et comme x est irrationnel, alors f(nx) est toujours non nul (d'après la question 4), donc si cett double inégalité est toujours fausse, alors cela veut dire que c'est l'inégalité de droite qui est toujours fausse.
Ainsi, pour tout n, donc par définition de la borne inférieure, on aurait ce qui est absurde, donc il existe bien un tel entier.

Kaiser

P.S : avec ce message, ce topic se fermera automatiquement. Je vais donc ouvrir un nouveau topic qui s'appellera "partie entière [2]"

Pour la suite de ce topic, voir ici ! partie entière [2]