Bonjour

À mon avis, la consigne est plutôt : "déterminer si les ensembles suivants forment une partition de E"

En effet, dans le premier cas, les ensembles ne forment pas une partition de E. Pourquoi ?

bonjour,
pour 4) c'est

Ça ne suffit pas. Pour être une partition, toutes les intersections deux à deux doivent être vides. Et A_2 alors ?

A₂ = {2 ; 4}

A₀ inter A₂ = {2}..

Exact, conclusion : ce n'est pas une partition

2) Il me semble que ça marche, comment démontrer que toutes les intersections deux à deux sont vides ?

Soient n,m deux entiers distincts. Supposons également m>n par symétrie du raisonnement. Alors on peut montrer que les éléments de A_m sont strictement supérieurs à ceux de A_n

Enfin, ce n'est pas très dur de toute façons, ils n'en ont que deux (des élément)

Je vais essayer par récurrence..


A_n = { 2n ; 2n+1 } avec


Soit P_n : << >>

A₀ = { 0 ; 1 } et A₁ = { 2 ; 3}

donc P₀ vrai.

* Soit ; supposons que P_k  vraie et montrons que P_k+1 vraie.

P_k vraie <==>

salut

as-tu compris ce que te dis

Si deux nombres (n et m) sont distincts, alors il y en a forcément un qui est strictement supérieur à l'autre. Je choisis de considérer uniquement le cas m>n, car l'autre cas "symétrique" (n>m) est exactement le même du point de vue de la démonstration, seuls les noms des lettres changent. Cela permet parfois de simplifier les choses

Ici un raisonnement par récurrence n'a pas sa place. Tu dois montrer que tous les ensembles sont deux à deux disjoints, c'est-à-dire que toutes les paires possibles d'ensembles sont disjointes.
En procédant par récurrence, tu montres seulement que A0 et A1 sont disjoints, puis que A1 et A2 sont disjoints... Mais qu'en est-il de A0 et A2 ? On ne peut rien en dire avec seulement ça.

Reprenons le cas général et oublions l'histoire de m>n, en fait ça n'est pas utile.
Soient n,m deux entiers distincts. On a :  

(J'ai envoyé mon message précédent trop tôt par erreur)

Tous les ensembles    contiennent exactement un nombre pair et un nombre impair.
Quel est l'élément pair de   ? Quel est l'élément pair de   ? Sont-ils égaux ?
Quel est l'élément impair de   ? Quel est l'élément impair de   ? Sont-ils égaux ?
Conclusion.

*L'élément pair de A_n est 2n et celui de A_m est 2m[rouge][/rouge]

2n ≠ 2m car m ≠ n

*L'élément impair de A_n est 2n+1 et celui de A_m est 2m+1

2n+1 ≠ 2m+1 car m ≠ n

Conclusion :

Exact.
Ensuite, est-ce qu'on a    ?

''   ? ''

J'ai pas compris ce que veut dire cette écriture..

Non, l'union de tous les ensembles  

Est-ce que l'union est égale à l'ensemble   ?

Dans ton cas, le X en question, c'est l'ensemble total qu'on cherche à partitionner (tu l'as d'ailleurs appelé E dans ton exercice), c'est-à-dire  .

Ok,    

Est ce qu'on ne devrait pas justifier qu'aucun de ces ensembles n'est vide même si celà est évident ?

Oui, il faut justifier qu'ils ne sont pas vides aussi, même si c'est trivial. Une simple phrase fait l'affaire. Ils ne sont pas vides par définition, puisqu'ils contiennent au moins un élément.

Ta justification de l'union n'est pas rigoureuse. Déjà, l'union doit être infinie, c'est bien la subtilité.
Considère un entier  . Est-ce qu'il existe    tel que    ? Tu peux distinguer les deux cas suivants : lorsque k est impair, lorsque k est pair.

Si k est pair alors : k=2n avec   et donc

Si k est impair alors : k=2n+1 avec et donc

Evidemment que si k est un entier pair ou impair, alors k est un entier  

Ce que je te demande de faire, c'est de montrer que si k est un entier, alors il appartient à un des A_n.
Et c'est pour ça que je te propose d'utiliser la parité de k : c'est beaucoup plus facile de trouver à quel A_n appartient k quand on connaît sa parité

Si k est pair alors : k=2n et

Si k est impair alors : k=2n+1 et

Oui, donc   plus précisément.

Voilà, donc c'est bien une partition

Pour 3 et 4 , tu pourrais faire un exemple s'il te plaît

Regarde précisément ce que valent A1, A2, A3
tu verras intuitivement si c'est une partition ou non.

Si ce n'en est pas une, tu sais pourquoi
Si c'en est une (selon toi), alors il ne reste plus qu'à le démontrer de la même façon que tout à l'heure