Bonjour, boubou01.

  si et seulement si  |z|=1
On reconnait le cercle de centre O et de rayon 1.

|z|=|1-z| si et seulement si   |z|=|z-1|
On reconnait la médiatrice de [(0,0),(1,0)].

Pas trop difficile de déterminer l'intersection de ces deux ensembles ...

Pour le deuxième exercice:


Indication pour résoudre l'exercice:
Détermines les solutions de l'équation du second degré associée:

On trouve et ...

Houla je n'ai rien compris

Pour le 1) J'ai compris la partie sur le cercle puis après je comprend pas le passage sur la médiatrice.

Pour le 2) bah d'où vient l'équation du second degré que tu donnes ?

Bonsoir perroquet et boubou

1) Plus généralement si |z-a|=|z-b| alors AM = BM et M est situé sur la médiatrice de [AB].

2) Réduis au même dénominateur dans ton équation.

Pour le 1:
Si M est d'affixe z, si A est d'affixe z_A, alors, |z-z_A| est égal à la distance AM.
Donc, |z| est égal à la distance OM
      |z-1| est égal à la distance AM, avec A=(1,0)
L'égalité  |z|=|z-1| est donc équivalente à l'égalité:
AM = OM
donc au fait que M appartient à la médiatrice de [0,A].


Pour la deuxième question:

On multiplie par z:

Bonjour Boubou01,

Comme l'a démontré "Perroquet" les solutions de l'équation: z+ 1/z= 2cos sont eⁱ et e^-i. Alors zⁿ= eⁱⁿ ou zⁿ= e^-in. Donc  1/zⁿ= e^-in respectivement  1/zⁿ= eⁱⁿ. Donc
zⁿ + 1/zⁿ= 2cosn.