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(tu l'a chpé ou cet exo?)
si z c'est bien cet intersection,je comprend pas ensuite l'expression de z en fonction de x et a?!
J'oubliais de préciser une chose : cette droite est la droite engendré par a-x et passant par a
donc un point z qui serait sur cette droite est telle que z-a est colinéaire à a-x.
Toujours OK ?
Kaiser
donc un point qui serait sur la droite est de la forme a+b(x-a) avec b un réel.
Ici, on veut montrer qu'il existe un réel b > 0 tel que l'ensemble des éléments de la forme a+t(x-a) avec t dans [0,b] soit contenu dans A (un tel ensemble sera un segment [a,z] avec z=a+b(x-a) )
On sait déjà que la boule de rayon r est dans A donc si on note z l'unique point de la sphère de rayon r qui appartienne à la demi-droite, alors le segment [a,z] est dans A (car il est inclus dans la boule).
On peut donc en déduire b en fonction de r, a et x.
Kaiser
un point qui serait sur la droite est de la forme a+b(x-a) avec b un réel.
oui!
on veut montrer qu'il existe un réel b > 0 tel que l'ensemble des éléments de la forme a+t(x-a) avec t dans [0,b] soit contenu dans A (un tel ensemble sera un segment [a,z] avec z=a+b(x-a) )
ok...
On sait déjà que la boule de rayon r est dans A donc si on note z l'unique point de la sphère de rayon r qui appartienne à la demi-droite, alors le segment [a,z] est dans A (car il est inclus dans la boule).
oui aussi.
mais je comprend pas comment tu veux déduire b?!!
z=a+b(x-a) et on sait que ||z-a||=r donc |b|||x-a||=r
comme x est différent de a, alors ||x-a|| est non nul et donc
Comme on veut b > 0, on prend
Kaiser
ok bah je crois que pourune premiere question d'un exo de partiel on aurait pu faire plus simple quand meme!
j'hésite à continuer.
heuu je demande juste une petite défintion:
soit Kaiser,H_aldnoer ou quelqu'un qui passe par la:
comment défini t-on précisément un espace métrique connexe.
Merci d'avance.
un espace métrique connexe est un espace métrique E qui ne peut pas être la réunion disjointe de deux ouverts non vides.
Kaiser
ok merci pour cette définition!
je vous laisse un petit moment,je sais pas si je reviendrais...
si je reviens pas merci à Kaiser et Otto pour les réponses apportées aux questions(parfois idiotes).
Merci et puis à bientot.
donc
On veut montrer que .
Soit , est-ce que
?
cad est-ce que
et
On a déjà car
.
On sait que on a
or comme on a
Donc en particulier
.
?
Pour montrer que ,
il faut montrer que et que
on a
Il faut utilisé A fermé, on passe par les suites ici ou pas ?
Je le sens pas !
telle que
alors
J'aimerais bien définir une suite en fonction de
mais bon ...
Si je pose on a bien
mais est-ce que j'ai le droit ??
pourquoi n'aurais-tu pas le droit ?
bien sûr est dans [0,M] seulement à partir d'un certain rang.
Maintenant, en notant , il faut montrer que
est bien dans
.
Kaiser
Ok, j'ai compris !
ça reviendrait à montrer que M est dans cet ensemble mais on va faire autre chose avant.
si l'on montre que est dans A, alors on aura ce que l'on veut d'après la question précédente.
Kaiser
non, en fait, oublie ce que j'ai dit !
on revient sur les .
il ne faudrait pas les choisir comme ça.
Plus précisément, il faut utiliser la caractérisation de la borne supérieure et prouver l'existence d'une suite d'éléments de qui converge vers M.
notons cette suite (ce ne sont pas les mêmes que précédemment).
Ainsi, d'après la question précédente, on aura que pour tout n, est inclus dans
.
Kaiser
(désolé j'étais au téléphone!)
la caractérisation d'une borne sup ?
qu'est-ce que tu entend par la ?
De manière générale,
si M est la borne sup d'un ensemble A, pour tout e>0, il existe a dans A telle que M-e<a<M ?
Je suis un petit peu perdu!
On veut montrer que ou
est la borne supérieur de
.
Donc ,
.
Il faut que l'on montre que et
On nous suggère d'utiliser le fait que A fermé, donc passer par la caractérisation des suites cad que toute suite convergente de A converge vers un élément encore dans A.
Ici on a , donc je voulais définir une suite en fonction de
, mais je vois pas comment.
Donc on définit la suite .
Il faut la limite de en l'infini maintenant !
On sait que mais quand est il de
?
il faut choisir le en fonction de n, par exemple
(car le but était d'obtenir une suite
qui converge vers M.)
Kaiser
Ah ok !
Mais peut on remplacer t par t_n dans l'inégalité ?
Par le théorème des gendarmes : .
(je m'absente pour une demi-heure, je reviens!)
N'oublie pas qu'il faut montrer que a+t(x-a) est dans A pour tout t de [0,M].
Tu viens traiter le cas t=M mais il faut aussi voir le cas où t est dans [0,M[.
Kaiser
Ah oui!
Déjà si ,
.
Il reste l'intervalle .
Il faut trouver qui tend à l'infini vers un élément de cet intervalle ?
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