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Petit exercice de topoligie(2)
Bonjour,
pouvez-vous m'aidez sur cette exercice :
Soit une partie non vide de
, à la fois ouverte et fermée. On veut montrer que
. On se donne deux points
et
(avec
).
Soit .
1/ Montrer que (utiliser A ouvert)
2/ Montrer que si alors
Soit la borne supérieure de
, élément de
. On suppose
3/ Montrer que (utiliser A fermé)
4/ Montrer qu'il existe tel que
.
5/ Conclure
J'ai des problèmes dans le 1/ déjà.
Soit .
Est-ce que ce traduit par :
,
,
?
si b est dans cet ensemble, cela veut dire que c'est un réel positif tel que pour tout t de [0,b], a+t(x-a) est dans A.
Kaiser
c'est celui qui est défini dans
non ?
On a or
ouvert.
Donc pour tous les éléments de A, en particulier pour celui-ci , non ?
en fait je comprend pas ce qu'on doit faire...ça me parait bizarre,
si on montre que cette intersection est non vide pour un lambda particulier c'est bon?
H_alndoer > oui, mais que cherches-tu à montrer exactement ? comment choisi-tu t ?
robby > non ! il faut montrer que cet ensemble contient un réel strictement positif.
Kaiser
Ouais moi non plus je vois pas ce qu'il faut faire !
Ce que l'on sait c'est que pour tout élément de A il existe un rayon r positif tel que la boule de centre cet élément et de rayon r soit incluse dans A.
Donc si c'est vrai pour tout élément, c'est vrai pour . C'est tout ce que je trouve à dire, mais je crois pas que ça nous fasses avancer !
comment choisis-tu ce réel b ? est-il quelconque ?
Je te conseille de faire un dessin pour voir ce que signifie "être dans ".
Kaiser
Pour montrer que l'intersection est non vide, il faut bien prendre b quelconque non ?
Sinon, je vois vraiment pas comment faire un dessin dans ce cas !
Une droite ?
robby > non, seulement une partie de ce segment !
H_aldnoer > non, il faut montrer qu'il existe un réel strictement positif qui est dans .
Si tu prend b quelconque dans , b peut-être nul (d'ailleurs, 0 est dans
).
Kaiser
En faite je prend quelconque dans
. Donc on est d'accord que
et
.
Comment tu ferais ce dessin kaiser ?
humm je récapitule un peu ce qu'on a:
il faut montrer qu'il exitse un réel strictement positif dans Kx...?!
dans le dessin ci dessous, z s'écrit a+b(x-a) où b est réel positif.
ainsi, l'ensemble que l'on cherche est celui des reéls b tel que le morceau rouge de la demi-droite, soit incluse dans A (robby > ça veut donc dire que le segment peut très bien ne pas être inclus dans A. Mais bon, on va montrer un peu plus tard, que c'est le cas)
ici, il faut montrer qu'un tel réel b > 0 existe.
On nous demande d'utiliser le fait que A est ouvert donc il faut considérer un élément dont on sait qu'il est dans A et dire qu'il existe une boule etc...
Ici, le seul élément donc on est sûr qu'il est dans A est le point a.
Une boule apparait alors naturellement, en voyant le dessin.
Kaiser
oui c'est bien la distance de a à z (si j'ai bien compris ce que tu as mis).
Mais bon, ici, on a raisonné à l'envers : on a supposé qu'un tel a existait et on en a déduit r.
Ce qu'il faut, c'est d'abord déterminer r et ensuite montrer qu'il existe un réel b strictement positif dans , b que l'on exprimera en partie, en fonction de r.
Kaiser
oui c'est bien ce que je voulais dire...
mais la on va dire quoi come a est ouvert il existe un rayon r>0 ou r=(a,z) et z=a+b(x-a)??
ça fait bizarre non?
H_aldnoer > oui !
robby > on ne parle pas de z avant. ON dit juste qu'il existe un réel r > 0 tel que la boule de centre a et de rayon r soit incluse dans A.
Ensuite, le vecteur z que l'on recherche va simplement être sur le bord de cette boule.
Kaiser
Ok!
La je vois vraiment pas ou ça va nous menez.
On veut montrer que .
Soit donc
(donc
et b réel) et
.
C'est cette hypothèse qui me dérange le plus !
on a
Donc comme ouvert
.
Soit , avec
.
signifie
soit
je ne comprends pas ce que tu fais : tu dis vouloir montrer que cette intersection est non vide mais tu supposes déjà que c'est non vide.
Kaiser
Ah oui c'est vrai!
Donc que faut il faire ? Prendre un élément de et montrer qu'il peut s'agir d'un réel positif ?
Bon je reprend parce que la j'avais fait un truc au brouillon et puis ça marchait pas c'était du n'importe quoi!!
Alors il existe r>0,pour tout a dans A,B(a,r) inclus dans A.
Ok aprés on dit quoi?
Bein j'aurais pas aimé avoir cette exo à un partiel !
Sinon je pense comme robby, pour l'intersection.
??
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