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Polynome à coeffcients complexes P(x²)=P(X)+P(X+1)
Bonjour à tous,
Je suis en prépa de biologie et j'ai un exercice de math avec un polynôme à coefficient complexes. Sauf que dans mon cours, nous n'avons vu que des polynômes à coefficient réels. J'ai besoin d'aide s'il vous plait.
Voici l'énoncé:
On se propose dans cet exercice de chercher les polynômes P à coefficients complexes tels que :
P(X²)=P(X)
P(X+1)
1.Quels sont les polynômes constants qui conviennent?
Celle-ci j'ai trouvé: on pose P(X)=Y pour tout X donc c'est également valable pour X² etc. On trouve Y=Y² donc Y=1 ou Y=0. C'est bien ça?
2.On suppose maintenant que (degré de P)
1 est que a est une racine de P.
Montrer que a2,a4,a8...sont racines de P.
Je pense l'avoir également trouvé: a est racine de P donc P(a)=0. D'après la formule de P on a P(a²)=P(a)P(a+1). Donc P(a²)=0.
Après de proche en proche on trouve que a2,a4,a8...sont racines de P.
3. En déduire que a=0 ou (valeur absolue de a)=1.
Ça en revanche je n'y arrive pas. J'ai pensé poser a= exp(i
)et prouvé que vaut k
mais je m'emmêle les pinceaux...
4.En remarquant que (a-1)² est une racine de P(X), montrer que a=0,a=1 ou (valeur absolue de a)=[valeur absolue de (a-1)]=1 . Justifier que a
{0,1,-j,-(j²)}
Là non-plus je ne vois pas.
5.Montrer que les solutions de P non constantes sont les polynomes P(X)=(X(X-1))n avec n
et n
0
Celle-ci non plus je n'y arrive pas. Je n'ai pas l'ombre d'une idée...
Merci d'avance et bonne journée.
Bonjour
3) Je te rappelle que les seuls polynômes (complexes ou réels) qui admettent une infinité de racines sont les polynômes constants. Ca devrait te débloquer...
Merci pour la réponse.Il suffirait donc de reprendre ce qui a été dit dans le 1. ?
Mais d'où viendrait là valeur absolue?
Non, pas vraiment... Maintenant tu supposes que n'est pas constant. Tu viens de trouver
comme racines. Comment est-ce possible?
Ben, ce n'est possible que si l'ensemble de toutes ces puissances est fini. Ceci entraine qu'il existe et
tels que
...
Un polynôme non constant a un nombre fini de racines. ici, tu trouves une liste qui a l'air infinie... Ce n'est possible que si certains des éléments sont égaux à d'autres. C'est ce que j'ai écrit!
On a valeur absolue de a2[sup]m[/sup]=a2[sup]2[/sup]
Donc a2[sup]m[/sup]/a2[sup]2[/sup]=1
C'est bien ça?
A ce moment on a que deux solutions valeur absolue de a vaut 0 (a vaut 0) et valeur absolue de a vaut 1. C'est bien ça?
3. On se place dans le cadre où P est non nul.
Par l'absurde on suppose que a non nul et de module différent de 1.
Alors, grace à la question 2., P a une infinité de racines. Donc P est le polynome nul.
Contradiction.
4. Il faut que (a-1)² soit nul ou de module 1 (sinon à cause de la question précédante on obtient le polynome nul).
...
Pour 3., si j'ai bien compris il faut dire que a est égale à 0 a 1 ou-1 vu que si c'est pas le cas on a une infinité de racines. Or si on n'a une infinité de racines, c'est en contradiction avec l'énoncé: degré de P 1. C'est juste?
Non, il faut juste dire que a=0 ou |a|=1. L'énoncé ne te demande rien d'autre... n'oublie pas que a le droit d'être complexe non réel.
On ne sait pas. Mais les polynômes à coefficients complexes ont la plupart du temps des racines complexes!
Bien j'ai put faire cette question (avec beaucoup beaucoup d'aide...) Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider pour la suite s'il vous plait?
Mais tu as tout ce qu'il faut! Tu sais que ou
.
Alors comme c'est écrit dans l'énoncé, commence par montrer que est aussi racine. Alors tu as
ou |(a-1)^2|=1. Il te reste à écrire...
Merci pour la réponse.
Je vois que c'est possible pour a =0 et a=1.Pour la valeur absolue de a ,il faut reprendre les réponses d'avant. Par contre je ne vois pas d'où viendrait la valeur absolue de (a-1)² qui doit être égale à 1. C'est le même raisonnement que pour le 3. c'est ça? Je dois dire que on a des valeurs de a-1 qui sont les mêmes , c'est ça?
Quand a prouvé que c'est les valeurs de -j et -(j²), là non plus je ne vois pas.
Et il me reste la dernière question, comment je peut prouver que c'est le polynôme P(X)=(X(X-1))^n.
Merci d'avance
Le résultat de 3) est vrai pour toute racine de , en particulier pour
Et si tu te décidais à faire les calculs? Quand a-t-on |(a-1)^2|=1?
Il faut écrire que |(a-1)²|=1 signifie que (a-1)²=1 ou -1 .Ensuite on applique la méthode du discriminant. On trouve à la fin deux racines complexes et deux racines réelles. Ok super merci.
Pourrais-tu encore m'aider pour la 5. s'il te plait?
Merci d'avance.
Ok. Mais comment trouvé l'argument vu que l'on a aucune information concernant la partie imaginaire de a-1 et même de a?
Ne t'inquiète pas ,je ne m'attend pas à ce que tu le fasses, et je m'excuse si c'est ce que tu crois.
Tu penses peut-être que j'attends que tout me tombe tout cuit dans les mains. Je te promet que ce n'est pas le cas. J'ai juste beaucoup de problèmes avec les maths. Surtout quand c'est un exercice de ce style.
Peut-on enlever la valeur absolue ainsi que le carré, en séparant deux cas?
Tu as l'air de penser que équivaut à
. Je t'ai dit déjà plusieurs fois que c'est FAUX!
Calcule le module de .
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