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Preuve du lemme de Zorn, condition de maximalité
Posté par SkyMtn
Bonsoir. J'essaie de lire cette preuve du lemme de Zorn n'utilisant pas la récursion sur les ordinaux 
.
Mais je bloque quand l'auteur du document donne une condition nécessaire et suffisante de maximalité.
Je résume... on se place dans un ensemble non vide ordonné par
et vérifiant l'hypothèse du lemme de Zorn, à savoir que toute chaîne (sous-ensembles totalement ordonnés) admet un majorant.
Il note l'ensemble des chaînes de
.
Pour on pose
, puis avec une fonction de choix
sur les parties non vides de
il définit une nouvelle fonction
par
si
,
sinon.
Il "montre" que si , alors
est un élément maximal de
pour l'inclusion. Cependant, je ne vois pas comment il parvient au résultat. L'auteur propose de raisonner par contradiction en supposant qu'un tel
n'est pas maximal, donc il y a
tel que
mais
, et qu'il existe alors un élément
dans
qui n'appartient pas à
(jusqu'ici tout va bien). Il affirme ensuite que
est une chaîne de
et aboutit à une contradiction. Mais je ne vois pas comment le fait que
soit une chaîne dans
contenant
entraîne que l'union
en est encore une :/
Je loupe certainement quelque chose 
Merci de m'éclairer 
* dans le texte il utilise au lieu de
dans ce passage, mais c'est parce qu'il s'intéresse aux parties de
qui possèdent les mêmes propriétés que
(c'est en page 4)
Bonjour SkyMtn.
Je pense que tu as loupé que est une chaîne et
une sous-chaîne stricte de
.
Comme et est totalement ordonnée, alors
est encore une sous-chaîne de
et donc a droit au titre de chaîne.
Faut pas boire trop de chouchen le soir ... 