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Problème de jetons
Posté par TonioCabaliero (invité)
Ce problème m'a été posé par mon fils qui, pas plus que moi, n'en a trouvé la solution.
Au départ, nous avons 2 piles de n jetons de couleurs différentes (blanc et noir par exemple).
On intercale les 2 piles et on obtient une pile de 2n jetons où blancs et noirs sont alternés. On dissocie cette pile en 2 nouvelles piles et on recommence l'opération (intercalage puis dissociation) jusqu'à obtenir à nouveau 2 piles homogènes.
Le problème consiste donc à trouver la fonction f(n)=x, où n est le nombre de jetons et x le nombre de coups nécessaire à l'obtention de 2 piles homogènes.
Malgré son apparente simplicité, ce problème est un véritable casse-tête pour moi!?!?
Grace à un simulateur, j'ai pu obtenir les valeurs suivantes :
2,2 3,3
4,3 5,5 6,6 7,4
8,4 9,9 10,6 11,11 12,10 13,9 14,14 15,5
16,5 17,12 18,18 19,12 20,10 21,7 22,12 23,23 24,21 25,8 26,26 27,20 28,9 29,29 30,30 31,6
32,6 33,33 34,22 35,35 36,9 37,20 38,30 39,39 40,27 41,41 42,8 43,28 44,11 45,12 46,10 47,36 48,24 49,15 50,50 51,51 52,12 53,53 ...63,7
64,7... 127,8
128,8...
Pistes de réflexion ? :
-- la valeur maximale de x (nombre de coup) est n (nombre de jetons)
-- la valeur minimale de x est obtenue quand n=2^t ou bien n=(2^t)-1. Dans ce cas, x=t+1.
Il y a quelque chose que je n'ai pas compris.
Il existe plusieurs façons d'intercaler les pieces (on commence en haut par une du tas de gauche ou du tas de droite par exemple).
Suivant la tactique employée, il se peut que pour un même nombre de pions au départ, le nombre de coup qui amènent des piles homogènes soient différents.
Voir par exemple, sur mon dessin, 2 tactiques différentes aves n = 3.
Un pion est repéré un rouge pour permettre de voir par quel tas on commence pour intercaler les pièces.
Sauf erreur (à vérifier), les 2 tactiques amènent à un nombre de coups différents.
Quelle est alors la question ?
Demande-t-on le nombre minimum de coups nécessaires ?
Posté par TonioCabaliero (invité)Pb de Jetons. Précisisons
Merci pour votre réponse.
Quelques précisions :
- Il s'agit bien entendu de trouver le nombre minimum de coups pour aboutir à 2 piles homogènes.
- Effectivement on peut intercaler les piles avec 2 tactiques différentes: en commencant par celle de gauche ou de droite.
Mais à condition de conserver la même tactique, le résultat est le même.
En revanche, une variante du problème consiste à non seulement obtenir 2 piles homogènes mais en plus qu'elles soient "à la même place":
celle de gauche à gauche et celle de droite à droie.
On obtient alors des résultats quelque peu différents mais toujours aussi "obscurs" :
2,4-3,3
4,6-5,10-6,12-7,4
8,8-9,18-10,6-11,11-12,20-13,18-14,28-15,5
16,10-17,12-18,36-19,12-20,20-21,14-22,12-23,23-24,21-25,8-26,52-27,20-28,18-29,58-30,60-31,6
32,12-33,66-34,22-35,35-36,9-37,20-38,30-39,39-40,54-41,82-42,8-43,28-44,11-45,12-46,10-47,36-48,48...63,7
64,14...
L'aspect le plus remarquable de ces résultats est que ce sont les nombres égaux à 2n - 1 qui obtiennent les meilleurs scores, soit n+1 :
3(3),7(4),15(5),31(6), 63(7), ...
