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Niveau maths sup
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Problème prepa, sommes

Posté par
annesospain
24-10-20 à 16:18

Bonjour,
Voici un exercice sur lequel j'ai un peu de mal. A partir du b) si quelqu'un peut m'aider.

a) Dans un quadrillage infini du plan, tout blanc, considérons au temps 0 un carré noir. Au temps 1, il noircit ses 4 voisins (avec qui il partage un côté). Au temps 2, chacun des 5 carrés noirs noircit ses 4 voisins (si un voisin était noir, il le reste). Pour n E N, déterminez une expression simple de Cn, le nombre de carrés noirs au temps n. Démontrez-la par récurrence.

b) Même question dans un quadrillage de l'espace à dimensions, où un cube a alors 6 voisins avec qui il partage une face : déterminez une expression simple de Cn, le nombre de cubes noirs au temps n.

c) Replaçons-nous dans le plan et son quadrillage blanc, mais avec une nouvelle règle : si on noircit un voisin qui était déjà noir, alors il devient blanc. Déterminez Cn, le nombre de carrés noirs au temps n.

Merci d'avance

Posté par
carpediem
re : Problème prepa, sommes 24-10-20 à 16:39

salut

ben fais un dessin dans l'espace pour voir combien de cubes sont contigus à un cube ...

Posté par
annesospain
re : Problème prepa, sommes 24-10-20 à 16:48

carpediem @ 24-10-2020 à 16:39

salut

ben fais un dessin dans l'espace pour voir combien de cubes sont contigus à un cube ...


C'est fait. Mais en 3 dimensions c bien plus compliqué. J'ai un doute sur combien de cubes noirs sont rajoutés à chaque temps. Est-ce que cette proposition vous semble logique? : Cn+1 = Cn + 6(n+1) ?
Merci

Posté par
XZ19
re : Problème prepa, sommes 24-10-20 à 22:15

Bonjour
Il serait bien que tu montres comment tu as fait dans le cas du plan.
En effet  proposer  quelque chose de douteux  dans le cas de la dimension 3  peut laisser  penser que le cas de la dimension 2  n'a pas été fait.

Personnellement  je trouve C_n=C_{n-1}+ 4  n^2 +2    mais bon ce qui compte c'est la façon de faire.  

Posté par
annesospain
re : Problème prepa, sommes 24-10-20 à 23:02

XZ19 @ 24-10-2020 à 22:15

Bonjour
Il serait bien que tu montres comment tu as fait dans le cas du plan.
En effet  proposer  quelque chose de douteux  dans le cas de la dimension 3  peut laisser  penser que le cas de la dimension 2  n'a pas été fait.

Personnellement  je trouve C_n=C_{n-1}+ 4  n^2 +2    mais bon ce qui compte c'est la façon de faire.  


Pour la dimmension 3?
Moi en essayant de faire des dessins, j'ai remarqué qu'on ajoutait 6(n+1) carrés noirs à chaque temps! Comment arrivez vous à cette expression?

Posté par
XZ19
re : Problème prepa, sommes 24-10-20 à 23:09

Oui c'est pour la dimension 3.  Bon j'avais pas compris que ta proposition c'est pour le plan (que je n'ai pas traité. )  

Alors  vite fait  je trouve C_n=C_{n-1}+ 4 n.   Donc  je ne comprends pas ta proposition  qui par ailleurs est fausse si tu fais un dessin.  

Posté par
annesospain
re : Problème prepa, sommes 24-10-20 à 23:16

XZ19 @ 24-10-2020 à 23:09

Oui c'est pour la dimension 3.  Bon j'avais pas compris que ta proposition c'est pour le plan (que je n'ai pas traité. )  

Alors  vite fait  je trouve C_n=C_{n-1}+ 4 n.   Donc  je ne comprends pas ta proposition  qui par ailleurs est fausse si tu fais un dessin.  


J'ai bien trouvé ça pour la première question. Ma proposition était pour la dimension 3. Je ne vois pas cependant comment vous trouver ça pour la dimmension 3? Les premiers termes sont 1 puis 7 puis 19 ect et on ajoute à chaque temps un multiple de 6. Comment obtenez vous cette expression ?

Posté par
annesospain
re : Problème prepa, sommes 24-10-20 à 23:25

Et j'arrive du coup à Cn = 3n^2 + 3n + 1

Posté par
XZ19
re : Problème prepa, sommes 24-10-20 à 23:30

Non  les premiers termes sont  1  ,  7  , 25    
(en particulier  25-7=18=4* 2 ^2 +2 ce qui confirme  mon résultat)  
ainsi c_n=\frac{1}{3} (1+2 n) \left(3+2 n+2 n^2\right)

si  on place  les cubes de sortes que leur centre appartiennent à \Z^3

A l'étape  n  les nouveaux cubes coloriés  en noirs sont ceux dont le centre  C vérifie  
  || C||_1=n. Il suffit alors de les compter correctement.

Posté par
annesospain
re : Problème prepa, sommes 24-10-20 à 23:39

D'accord, j'ai du mal compter j'avais 19.
Merci!

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