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Produit scalaire système d’équations

Posté par
sasul10001 13-02-22 à 14:11

Bonjour à vous,

J'ai un dm à faire, mais je suis bloqué sur l'exercice...
Voici l'énoncé : Dans un repère orthonormé, on considère le point F(1;0) et un point variable A(0;t) sur l'axe des ordonnés avec t

. On appelle strophoïde l'ensemble S'= S{F}.
Il existe deux réels x et y, on note P la propriété :

x^2+(y-t)^2 = t^2          
y = t(1-x)

avec t

1) démontrer que M(x;y) S si et seulement si P est vérifiée.

Ce que j'ai fait :

On calcule le vecteur AF :
J'ai trouvé comme coordonnées:
x du vecteur AF =1 ; y du vecteur AF = - t
Soit M(x;y) un point appartenant à la droite (AF) , vecteur AM =t vecteur AF

J'ai trouvé vecteur AF(1;-t) vecteur directeur de la droite (AF)

= t
.
.
.
J'ai trouvé :
x=t
y=t-t^2

on résous un système  : (J'en suis ici)
x= t
y=t-t^2

x=t
y=t(1-t)

x=t
y=t(1-x)

x=t
y+t^2=t

x=y+t^2
t=y+t^2

x-y=t^2
y=t-t^2

x-y=t^2
y=t(1-t)

x-y=t^2
y=t(1-x)


Après je ne sais pas comment je peut transformer la première équation en  x^2+(y-t)^2=t^2


Quelqu'un peut m'aider à résoudre le système s'il vous plaît ?

Merci

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 14:13

*vecteur AM = tvecteur AF

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 14:25

Bonjour,

Ton énoncé est incomplet et tel quel incompréhensible.

Si tu veux des réponses adaptées, tu dois le recopier sans y changer ne serait-ce qu'une virgule.

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 14:50

D'accord merci , c'est vrai que j'ai oublié des phases..


Dans un repère orthonormé, on considère le point F(1;0) et un point variable A(0;t) sur l'axe des ordonnés avec t . On appelle S l'ensemble des points M de la droite (AF) tels que MA=OA lorsque A varie sur l'axe des ordonnés et on appelle  strophoïde l'ensemble S'= S{F}.
Étant  donné deux réels x et y, on note P la propriété :

(Il s'agit d'un système à deux équations, je n'arrive pas à mettre l'accolade)
x^2+(y-t)^2 = t^2          
y = t(1-x)


Voilà j'espère que c'est clair

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 14:53

sasul10001 @ 13-02-2022 à 14:50

D'accord merci , c'est vrai que j'ai oublié des phases..


Dans un repère orthonormé, on considère le point F(1;0) et un point variable A(0;t) sur l'axe des ordonnés avec t . On appelle S l'ensemble des points M de la droite (AF) tels que MA=OA lorsque A varie sur l'axe des ordonnés et on appelle  strophoïde l'ensemble S'=S{F}.
Étant  donné deux réels x et y, on note P la propriété :

(Il s'agit d'un système à deux équations, je n'arrive pas à mettre l'accolade)
x^2+(y-t)^2 = t^2          
y = t(1-x)


Voilà j'espère que c'est clair

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 14:58

La première question est :
1) Démontrer que M(x;y) S si et seulement si P est vérifiée.

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 15:02

C'est beaucoup mieux.

Donc M(x,y)\in S\Longleftrightarrow\begin{cases}MA^2=OA^2\\\vec{FM}\text{  et  }\vec{AF}\text{  colinéaires }\end{cases}

Il y a deux conditions.

Essaie déjà d'écrire la première à l'aide des coordonnées de tes points.

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 15:29

Au fait, je viens de voir ceci (relatif à la seconde condition) :

  

Citation :
Soit M(x;y) un point appartenant à la droite (AF) , vecteur AM =t vecteur AF


tu as choisi pour notation t pour le réel.
Surtout pas : un réel k qui n'a rien à voir avec t déjà utilisé et que tu élimines entre deux équations.

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 15:36

xAM =x -xA
yAM =y -yA



xAM= x-0 =x
yAM= y- t

et

xAO=x-0=x
yAO=x -t

AM=AO

Donc les droites (AM) et (AO) sont parallèles ?

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 15:45

Citation :
xAO=x-0=x
yAO=x -t


Non : A(0,t) et O(0,0)

\vec{OA}(0,t) donc AO^2=OA^2=t^2

Je te rappelle la formule générale : AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2

Il faut calculer de la même manière AM^2=MA^2 et écrire que les deux quantités sont égales soit MA^2=OA^2

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 15:45

Pour la deuxième condition j'ai trouvé :

FM = tAF
xM -xF =t xAF
yM -yF = tYAF

x= xF+ t xAF
y=yF + t yAF

x=1+t
y=-t^2

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 15:47

D'abord la première condition. On viendra à la seconde ensuite (je t'ai fait une remarque à son sujet au dessus).

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 16:00

D'accord

On a trouvé:
-  A(0;t) et O(0;0)
- OA (0;t) donc AO^2=OA^2=t^2
- AO^2=(xO-xA)^2 + (yO-yA)^2= (0-0)^2 + (0- t)^2 =t^2

j'ai trouvé

- A(0;t) et M(x;y)
- AM (x; y-t)
AM^2 = (y-t)^2

C'est juste ?

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 16:04

Citation :
AM^2 = (y-t)^2


Je crois qu'il manque un x^2 dans le second membre.

Et ensuite tu écris que AM^2=OA^2 \\

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 16:04

Donc AM^2 = OA^2
             (y-t)^2= t^2

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 16:05

Citation :
Citation :
AM^2 = (y-t)^2


Je crois qu'il manque un x^2 dans le second membre.

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 16:08

Ah ouii merci

AM^2= (x-0)^2 + (y-t) ^2 = x^2 +(y-t)^2

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 16:09

sasul10001 @ 13-02-2022 à 16:04

Donc AM^2 = OA^2
             x^2+(y-t)^2= t^2

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 16:15

Bien, tu tiens la première équation de ta propriété P.

Passons à la seconde condition :

  

  

Citation :
Citation :
Soit M(x;y) un point appartenant à la droite (AF) , vecteur AM =t vecteur AF


tu as choisi pour notation t pour le réel.
Surtout pas : un réel k qui n'a rien à voir avec t déjà utilisé et que tu élimines entre deux équations.


Reprends tes calculs avec un coefficient k et surtout pas t.

Tu vas obtenir un système de deux équations qui  dépendent de x,y,k et t

On "éliminera" ensuite k entre ces deux équations.
Mais d'abord, le système.

  

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 16:34

sasul10001 @ 13-02-2022 à 15:45

Pour la deuxième condition j'ai trouvé :

FM = kAF
xM -xF =k xAF
yM -yF = kYAF

x= xF+ k xAF
y=yF + k yAF

x=1+k
y=-kt


J'ai  trouvé  ceci

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 16:37

Oui. Il reste à "éliminer" k entre ces deux dernières équations :

de la première, tu tires k=x-1 et tu remplaces dans la seconde.

Ça donne quoi ?

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 16:39

sasul10001 @ 13-02-2022 à 16:34

sasul10001 @ 13-02-2022 à 15:45

Pour la deuxième condition j'ai trouvé :

FM = kAF
xM -xF =k xAF
yM -yF = kYAF

x= xF+ k xAF
y=yF + k yAF

x=1+k
y=-kt


k=x-1
y=-(x-1)t

k=x-1
y=t(1-x)

Donc il existe un réel t tel que

x^2+ (y-t)^2= t^2
y=t(x-1)


J'ai  trouvé  ceci

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 16:42

plutôt y=t(1-x) (tu as fait une erreur de signe).

Bon, voilà, tu tiens les deux équations de la propriété P.

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 16:47

Ah oui j'ai mal tapé l'équation... wow merci de m'avoir aidé jusqu'au bout !! Vous êtes trèèès gentil ! bravo

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 16:50

Pour in formation, voici ta strophoïde et de rien sasul10001

Produit scalaire système d’équations

Posté par
sasul10001Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 18:16

Bonjour à tous,

J'ai un Dm à faire mais je n'avance pas trop.. voici l'énoncé :

Dans un repère orthonormé, on considère le point F(1;0) et un point variable A(0;t) sur l'axe des ordonnés avec t   . On appelle S l'ensemble des points M de la droite (AF) tels que MA=OA lorsque A varie sur l'axe des ordonnés et on appelle  strophoïde l'ensemble S'=S{F}.
Étant  donné deux réels x et y, on note P la propriété :

(Il s'agit d'un système à deux équations, je n'arrive pas à mettre l'accolade)
x^2+(y-t)^2 = t^2          
y = t(1-x)

J'ai répondu à la première question qui était : 1) Démontrer que M(x;y) S si et seulement si P est vérifiée.

Il me reste les questions que je ne comprends pas)
2)a) Démontrer que si x alors on a l'équivalence :
P x^2(x-1)=y^2(1+x)

2)b) En déduire qu'un point M(x;y) appartient à la strophoïde si et seulement si x^2(x-1) = y^2(1+x)

3) Démontrer que si M(x;y) S' alors -1 <x1 . Comment se traduit-il graphiquement pour S' ?

4) Soit f la fonction définie sur ]-1;1] par f(x) =x (1-x/1+x). Démontrer que :
M(x;y) S' (y=f(x) ou y= -f(x))

En déduire que S' est la réunion des courbes de f et de -f.


Merci pour ceux qui m'aideront

*** message déplacé ***

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 18:17

sasul10001 @ 13-02-2022 à 18:16

Bonjour à tous,

J'ai un Dm à faire mais je n'avance pas trop.. voici l'énoncé :

Dans un repère orthonormé, on considère le point F(1;0) et un point variable A(0;t) sur l'axe des ordonnés avec t   . On appelle S l'ensemble des points M de la droite (AF) tels que MA=OA lorsque A varie sur l'axe des ordonnés et on appelle  strophoïde l'ensemble S'=S{F}.
Étant  donné deux réels x et y, on note P la propriété :

(Il s'agit d'un système à deux équations, je n'arrive pas à mettre l'accolade)
x^2+(y-t)^2 = t^2          
y = t(1-x)

J'ai répondu à la première question qui était : 1) Démontrer que M(x;y) S si et seulement si P est vérifiée.

Il me reste les questions : (que je ne comprends pas)
2)a) Démontrer que si x -1 alors on a l'équivalence :
P x^2(x-1)=y^2(1+x)

2)b) En déduire qu'un point M(x;y) appartient à la strophoïde si et seulement si x^2(x-1) = y^2(1+x)

3) Démontrer que si M(x;y) S' alors -1 <x1 . Comment se traduit-il graphiquement pour S' ?

4) Soit f la fonction définie sur ]-1;1] par f(x) =x (1-x/1+x). Démontrer que :
M(x;y) S' (y=f(x) ou y= -f(x))

En déduire que S' est la réunion des courbes de f et de -f.


Merci pour ceux qui m'aideront


*** message déplacé ***

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 18:33

Bonjour,

Tu aurais du poster ces questions à la suite de celles de l'autre sujet sur la strophoïde.
Je vais faire en sorte qu'ils soient réunis.

*** message déplacé ***

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 18:46

Bonjour , oui je ne voulais pas vous déranger une nouvelle fois.. merci pour ce que vous faites

*** message déplacé ***

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 18:48

J'attends que les deux sujets soient réunis par un modérateur pour poursuivre ...

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 19:01

Bonsoir
c'est réuni !
bon courage pour la suite

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 19:07

2)a) De la seconde équation de P, tu tires, avec x\not=1 :

t=\dfrac{y}{1-x}

et tu remplaces t dans la première. Il faut procéder à quelques calculs (développements, regroupements...) mais tu dois arriver à l'équation demandée.

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 19:07

Et merci malou !

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 19:26

>>sasul10001,

Je pense que tu as une erreur dans ton énoncé ici :
  

Citation :
P x^2(x-1)=y^2(1+x)


Plutôt P\Longleftrightarrow x^2({\red 1-x})=y^2(1+x)

erreur d'ailleurs reproduite dans 2)b).

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 20:27

D'accord

Ma réponse a été effacée, je raccourci ce que j'ai trouvé :

x^2+(y-t)^2 =t^2
t=y/(1-x)

.....................

x^2(1-x)-y^2 x -y^2 =0
t=y/(1-x)


x^2(1-x)-y^2 x =y^2
t= y/(1-x)


x^2(1-x)= y^2 + y^2 x
t= y/(1-x)


x^2(1-x)= y^2(1+x)
t= y/(1-x)


Voilà

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 21:00

Oui. En toute logique, tu as prouvé que :

  P\Longrightarrow x^2(1-x)=y^2(1+x)

Il faudrait faire une réciproque qui consisterait à écrire que pour x\not=1, on pose t=\dfrac{y}{1-x} et "remonter" les calculs que tu viens de faire pour obtenir x^2+(y-t)^2=t^2

2)b) (en corrigeant l'erreur est immédiate.

J'espère que tu as réfléchi à 3)


  

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 21:17

Il y a tout de même un minuscule problème en 2)b) :

  

Citation :
2)b) En déduire qu'un point M(x;y) appartient à la strophoïde si et seulement si x^2(1-x) = y^2(1+x)


La strophoïde, c'est S'=S\cup\{F\}

Il faut vérifier que les coordonnées de F(1,0) vérifient l'équation x^2(1-x)=y^2(1+x)
Ce qui est vrai donc tout va bien.

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d?équations 13-02-22 à 21:33

* Modération > Citation inutile effacée. *

D'accord
Si j'ai bien compris : on vérifie si les coordonnées  de F(1;0) vérifient l'équation x^2(1-x)=y^2(1+x)

xF^2(1-xF) = 0
et yF^2(1+yF) =0

Donc x^2(1-x)=y^2(1+x)  donc M(x;y) appartient à S'= S {F}

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 21:47

Pour la 3) j'ai trouvé :

Soit M(x;y) S' si est seulement si  -1<x 1
                              -1<xF 1
                              -1< 1 1
Donc la propriété P est vraie

‘Comment se traduit-il graphiquement pour S' ?'

La strophoïde passe par le point M (x;y) ?

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 21:47

Plus exactement F(1,0) appartient bien à la courbe d'équation x^2(1-x)=y^2(1+x)

  et c'est seulement maintenant qu'on peut écrire :

   M(x,y)\in S'\Longleftrightarrow x^2(1-x)=y^2(1+x)

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 22:00

3) Oh que non.

Ce n'est pas une équivalence qu'on te demande :

Citation :
3) Démontrer que si M(x;y) S' alors -1 <x1 .


C'est une implication.

  L'équation de S' : x^2(1-x)=y^2(1+x)

1) x=-1 dans cette équation donne 2=0

     donc x\not=-1

2) x^2(1-x)=y^2(1+x)

     on en déduit (si x et y  sont différents de 0) que 1-x et 1+x sont de même signe.

    donc que (1-x)(1+x)\geq 0 soit 1-x^2\geq 0 \\

   soit encore x^2\leq 1  d'où :

     -1\leq x\leq 1

Mais comme x\not=-1 (voir 1)), on a finalement ;

   -1<x\leq  1
  

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 22:14

D'accord c'est plus clair

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 22:17

Quant à la question "graphique", je dirais que la courbe S' se trouve dans la bande verticale limitée par les deux droites verticales elles aussi d'équations x=-1 (exclue) et x=1 inclue.

La question 4) est relativement facile ...

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 22:33

Pour 4) j'ai trouvé M(x;y) S' x^2(1-x)=y^2(1+x)
x^2 (1-x)/(1+x) =y^2

x^2 (1-x)/(1+x) = y

x(1-x)/(1+x) =y

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 22:43

4) Petite nuances :

  x\in]-1,1]

  x^2(1-x)=y^2(1+x)\Longleftrightarrow y^2=x^2\,\dfrac{1-x}{1+x}

et vu l'intervalle de définition pour x , on a \dfrac{1-x}{1+x}\geq 0

  et y^2=x^2\,\dfrac{1-x}{1+x}\Longleftrightarrow y=\pm x\,\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}

Le signe  + correspond à f et le signe - à -f

Tu as mérité :

  1) Un nouveau dessin :

   Produit scalaire système d’équations

   2) Un lien pour tout savoir sur la strophoïde droite :  

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d?équations 13-02-22 à 22:47

Olala merci c'est super intéressant !!

* Modération > Citation inutile effacée. *

Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 13-02-22 à 22:49

De rien sasul10001 et bonne nuit

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 14-02-22 à 09:17

Bonjour,
J'ai deux autres questions dans mon dm :
5) Démontrer que f'(x) = ( -x^2 - x+1)/(1+x)((1-x^2) . En déduire le tableau de variations de f et le compléter avec la limite de f en -1.

6) Construire S' dans un repère orthonormé du plan.

Est-ce que vous pouvez m'aider pour la 5) j'ai  trouvé :

Soit f définie par f(x) = x(1-x)/(1+x)
On dérive la fonction f avec u(x) = x ; u'(x)=1 ;     v(x)= (1-x)/(1+x) ; v'(x) = 1/2(1-x)/(1+x)  

J'ai trouvé :
f'(x)= u'(x)v(x) + u(x) v'(x)

        = (1-x)/(1+x) + x 1/2(1-x)/(1+x)

Ensuite je n'ai pas compris... est ce que je dois résoudre l'équation avec une fonction composée ?

Merci

Posté par
sasul10001re : Produit scalaire système d’équations 14-02-22 à 10:33

sasul10001 @ 14-02-2022 à 09:17



Est-ce que vous pouvez m'aider pour la 5) j'ai  trouvé :

Soit f définie par f(x) = x(1-x)/(1+x)
On dérive la fonction f avec u(x) = x ; u'(x)=1 ;     v(x)= (1-x)/(1+x) ; v'(x) = 1/2(1-x)/(1+x)  

Mais (1-x)/(1+x) = u(x)/v(x)  

Ce qui veut dire que : 1-x =u(x) ; -1=u'(x) ; 1+x = v(x) ; 1= v'(x)

Donc si je reprend mes calculs :

f'(x) = 1 (1-x)/(1+x) + x 1/2(1-x)/(1+x) u(x)/v(x)

         .......
        = (1-x)/(1+x) + x 1/2(1-x)/(1+x) -(1(1+x) -1(1-x))/ (1+x)^2  

        J'ai simplifié l'équation , réduit les termes au même dénominateur......

........  

       = ((1-x)/1+x)) + x (1+x)/ (1-x) (1+x)^2

..........

J'ai factoriser par 1+x :

f'(x) = ((1-x)(1+x)^2 - x(1+x)) / (1+x)(1-x) (1+x)^2

           = ((1+x)((1-x)(1+x) -x))/ (1- x^2) (1+x)^2

.......... j'ai simplifié, ce qui m'a donné :

          = (1^2 -x^2 -x)/(1-x^2) (1-x)

   f'(x)  = (-x^2 -x +1) / 1-x^2 (1+x)




Posté par
lakere : Produit scalaire système d’équations 14-02-22 à 11:22

Bonjour,

J'ai un peu de mal à te lire mais j'ai repéré ceci au début:

  

Citation :
On dérive la fonction f avec u(x) = x ; u'(x)=1 ;     v(x)= (1-x)/(1+x) ; v'(x) = 1/2(1-x)/(1+x)


  Non : v(x)=\sqrt{w(x)} avec w(x)=\dfrac{1-x}{1+x} d'où :

    v'(x)=\dfrac{w'(x)}{2\sqrt{w(x)}}

Pour contrôle, tu dois tomber sur :

    f'(x)=\dfrac{-x^2-x+1}{(1+x)^2\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}}

Inutile de recopier tes calculs que j'ai de toute manière beaucoup de mal à lire. Si tu tombes sur ce résultat, c'est que c'est bon ...


  

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