Relations d'ordre familières : "inférieur ou égal" et "supérieur ou égal".

Si E est un ensemble, "contenu" () est une relation d'ordre sur les sous-ensembles de E

Je n'arrive toujours pas bien à cerner ce que "relation d'ordre" veut dire... qu'est-ce que c'est concrètement ? Excusez, mais je bloque vraiment sur cette notion.

Et au fait, stokastik (merci pour ta réponse ), ce n'est pas plutôt "A inclus dans E" ?

"inclus" est synonyme de "contenu".

Euh... oui, mais je veux dire que tu as mis (A c B), c'est pas plutôt (A c E) ?

Tout d'abord, avoir une relation (binaire) sur un ensemble E c'est (non formellement), à chaque fois que l'on prend 2 éléments a et b de E, une propriété entre a et b qui est vraie ou pas. Si cette relation s'appelle R, on note a R b si a et b "sont en relation pour R", c'est-à-dire si la propriété est vraie.

Un exemple concret : tu prends comme ensemble un groupe de personnes. Si a et b sont deux personnes de ce groupes, tu définis une relation R en disant  : "a R b" si a est moins âgé ou a le même âge que b. Ainsi R est la relation "moins âgé que".

Cette relation est réflexive : puur toute personne a, on a R a (puisuqe a a le même âge que a) et transitive : si  a R b  et  si b R c  alors  a R c.

Bonjour,
une relation d'ordre n'est rien d'autre que ce que tu aurais envie de penser que c'est.
Une relation d'ordre sur E permet de comparer deux éléments de E.
Si tu peux toujours comparer deux éléments de E, alors l'ordre est dit total. Sinon on dit qu'il est partiel.
L'idée est la suivante, tu te donnes une certaine loi, que tu appelles relation. Tu la notes R par exemple.
On veut que a soit toujours comparable a lui meme (reflexivité)
On veut que si a est plus petit que b et que si b est plus petit que a, alors a=b (antisymétrie).
Ca semble naturel, mais ca n'est pas aussi évident. Par exemple, prend N et P(N) l'ensemble des sous ensembles de N. On pourrait dire que E est plus petit que F si card(E)<card(F) est une relation d'ordre sur P(N). En fait, justement elle ne vérifie pas l'antisymétrie. Par exemple {1} et {2} ont meme cardinal, mais ce ne sont pas des ensembles égaux.
On veut finalement que si a est plus petit que b, qui lui meme est plus petit que c, alors a est plus petit que c. (transitivité)

J'ai parlé de "plus petit que" parce que c'est vraiment l'idée sous jacente. En toute rigueur j'aurais du utiliser le terme "est en relation avec" qui a également l'avantage d'être plus général.

Par exemple, l'ordre par excellence sur R est la relation "inférieure ou égale", qui est totale.
Un ordre intéressant est celui de la divisibilité sur N (a est plus petit que b si par définition a divise b). Cet ordre est d'autant plus intéressant qu'il n'est pas total. Par exemple 2 et 3 ne sont pas comparable. Tu ne peux pas dire que pour cet ordre, 2 est plus petit que 3.

Finalement, il y'a la relation d'inclusion sur P(E) ou E est un ensemble non vide quelconque, qui est une relation d'ordre intéressante.

En fait, tu dois voir la relation d'ordre comme un arbre.
Si tu pars du bas de l'arbre (il n'y a pas nécessairement un élément plus bas que les autres ...) et que tu peux remonter jusqu'à un autre élément, alors ton élément de départ est plus petit que ton élément d'arrivée.
Pour reprendre l'analogie arbre/ordre, reprend la relation de divisibilité sur N.
Tout en bas, tu as 1.
Ensuite, tu as au deuxieme étage, tous les nombres premiers. 1 est relié à tout ces nombres par une b ranche. Continue ainsi avec les éléments qui sont produits de 2 facteurs etc.
Par exemple 6 est plus grand que 2 et 3, parce que 2 et 3 le divisent. Ainsi 6 est un étage au dessus de 2 et 3. Puisque 2 et 3 sont sur le meme étage, ils ne sont pas comparable.
Ensuite 10 est sur le 3 étage, mais ne doit pas etre relié à 3 par une branche, puisque 3 ne divise pas 10. Cependant, il doit etre relié à 2 parce que 2 divise 10.

Bref, a un arbre, tu peux associer un ordre et inversement.
L'ensemble des éléments d'un arbre qui sont en relation est appelé une chaine.
Tous les éléments sont reliés dans cet arbre (i.e. l'arbre n'est réduit qu'à une chaine) si et seulement si l'ordre est total.

a+

Pour mon exemple avec l'inclusion, A et B désignaient les "variables". Une relation d'ordre sur un ensemble s'applique entre 2 éléments quelconques de cet ensemble.

Ooooook !! Je cerne déjà mieux la situation ! Merci beaucoup pour vous précisions.