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Niveau IUT/DUT
Quantificateurs et ensembles (dm)
Posté par DCalque
Bonjour à tous (ou rebonjour ^^).
J'ai fait l'exercice 2 de mon DM qui porte aussi sur les ensembles et les quantificateurs. Cependant, j'ai des doutes, principalement à la question 3. Je vous remercie donc en avance pour vos indications et votre aide 
On considère l'ensemble E et F.
E={ 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 }
F correspond à l'ensemble des entiers qui sont positifs ou nuls et qui sont multiples de 3.
Question 1 : décrivez F avec des quantificateurs
Question 2 : quelles propositions ne sont pas erronées (vraies) ?
x
E, 
yF, x+y pair ^ x+y 
5,
xE, yF, x+y pair ^ x+y 5,
xE,yF, x+y pair ^ x+y 5
Question 3 :
G= { xE | yF, x+y pair ^ x+y 5 }
a) Faire la représentation des ensembles E, F et G avec un diagramme de Venn. Y insérer les entiers de 0 à 12.
b) Décrire, sous forme de quantificateurs, similairement à l'écriture de G, l'ensemble des éléments de E\G.
Voilà ce que j'ai fait :
Question 1 : { x
+ | y+ , y=3x }
Question 2 :
*Soit xE, tel qu'il existe un entier yF pour que x+ y pair ^ x+y 5
Dans le cas ou x=5 et y=0, x+y n'est pas pair
Si on a x{5,7,8}, x+y
5
Choisissons y=1, on obtiens 5+y = 6; cependant, 6>5
y=0, on obtiens 5+y= 5, le résultat est impair
Donc la proposition xE, yF, x+y pair ^ x+y 5 est fausse.
*Vrai
Il existe un entier x appartenant à E tel que pour un certain y appartenant à F, x+y pair ^ x+y 5
Dans le cas où on prends y=3 et x=1, x+y = 4 5 et x+ y est pair
La proposition xE, yF, x+y pair ^ x+y 5 est vérifiée.
*Faux
Il existe un entier x appartenant à E tel que pour tout y appartenant à F, x + y pair ^ x+y 5
Dans le cas où on choisi x=1 et y=5, on obtiens x+y>5 (x+y=6)
Dans le cas où on choisi x=2 et y=5, on obtiens x+y>5 (x+y=7)
Dans le cas où on choisi x=4 et y=5, on obtiens x+y>5 (x+y=9)
Dans le cas où on choisi x=5 et y=5, on obtiens x+y>5 (x+y=10)
Dans le cas où on choisi x=7 et y=5, on obtiens x+y>5 (x+y=12)
Dans le cas où on choisi x=8 et y=5, on obtiens x+y>5 (x+y=13)
La proposition xE,yF, x+y pair ^ x+y 5 est fausse.
3) a)
b) E\G = { xE | x
G }
Bonjour carpediem,
Oui c'est vrai, mais cela m'est directement venu à l'esprit de mettre + et pas . J'ai rectifié cela, merci.
Bonjour
ce n'était pas le seul souci dans ta première question ....
l'ensemble que tu as écrit est très exactement tout entier ....
Je ne comprends pas, pourtant quand je traduis en français l'ensemble, pour moi cela donne :
Parmi les entier x qui sont supérieurs ou égal à 0, il existe un entier y positif ou nul tel que y = 3x (donc y est un multiple de 3, y dépend de x). Sachant que c'est un ensemble, il doit forcément y avoir que des accolades.
Il faut obligatoirement qu'il y ait les quantificateurs et ici ? Pour moi, il doit y avoir xE et y.
D'accord 
Il n'y a pas d'autres erreurs dans les autres questions ? (je viens juste de remarquer que je me suis trompé dans la question 3)a), j'ai choisi y=5 alors que ce n'est pas un multiple de 3, il aurait fallu que je mette 6 ou 9, mais ça ne change pas que la proposition est fausse).
Salut,
Est-ce que dans le diagramme de Venn, l'ensemble G ne devrait pas plutôt se trouver dans l'ensemble E, étant donné qu'il partage 1,2 et 4 ?
Pour la question 2, la rédaction n'est pas top, mais les idées sont ok
la question 3 est à refaire (diagramme faux, b) faux)
Bonjour GammW,
J'ai repéré une autre erreur dans la question 2)a), j'ai marqué choisissons y=1, sauf que comme y appartient à F, ça doit être un multiple entier de 3, ce qui n'est pas le cas avec 1.
Question 3)a) : oui, c'est ce que j'avais fait au début de mon DM, mais croyant que c'était faux, j'ai tout effacé ... Surtout qu'il manque aussi les entiers 10 et 11 qui ne sont dans aucun des cercles (je pense que c'était aussi le piège de la question ^^)
Voilà le diagramme :
pourquoi 1, 2 et 4 apparaissent-ils deux fois ? où sont les autres entiers ? que représente le rectangle ?
J'ai refait un autre diagramme. En fait je me suis demandé si on devait enlever les 1, 2, 4 du "cercle" E, parce-que dans l'ensemble E il y a bien les éléments 1,2,4 ... Sinon, pour le rectangle, j'ai rectifié car on ne représente pas tous les entiers ici, j'ai donc refait deux autres cercles pour l'ensemble G
E et F.
Sinon, dans ton énoncé, E est un ensemble fini, ou infini mais tu as zappé les points de suspension ?
Désolé pour les nombreuses erreurs dans cette question, avant de publier des images je vais donc déjà écrire ce que je pense être exact.
Dans mon énoncé il est juste marqué "ensemble E={1, 2, 4, 5, 7, 8}" mais du coup l'ensemble est fini, mais je ne comprends pas, il est marqué dans la consigne qu'il faut placer dans le diagramme tous les entiers de 0 à 12 ... Je ne vois vois pas comment placer autrement les nombres, puisque dans le "cercle" F, il y a les nombres 0, 3, 6, 9, 12; seulement dans l'ensemble G, il n'y a pas 0, 3, 6, 9, 12 (d'ailleurs j'ai oublié le 0 le premier cercle de gauche, je ne sais pas si je suis très clair dans mon explication).