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quelques DL personnels pour faire le point

Posté par
severinette
28-04-08 à 19:13

Bonsoir , je "m'amuse" ( ça n'a rien d'amusant )  à me calculer des DL de fonctions à des ordres au hasard et j'aimerais votre avis sur mes méthodes surtout et mes calculs :

1. A l'ordre 3 , calculer le DL de ln(cos(x)) .

ln(1 - x²/2 + x³ E(x)) , je pose X = x²/2 , je me trouve avec un type ln(1-X) , ce qui me donne à l'ordre 3 :

-x²/2 + x³ E(x) .

2. A l'ordre 2 , cos (x + pi/4) .

On utilise la formule cos(a+b) , ce qui donne cos x * cos pi/4 - sin x sin pi/4 , soit (1-x²/2 + x² E(x)) V2/2 - (x + x²E(x))*V2/2 , ce qui donne :

V2/2 - x²V2/4 - xV2/2 + x² E(x) .

3. A l'ordre 2  , ln(x²-x+1) .

ln(x² (1 - 1/x + 1/x²)) = ln x² + ln(1 - 1/x + 1/x²) , on pose X = -1/x + 1/x² , on a une forme de type ln(1+X) , ce qui donne :

ln x² + 1/x - 1/x² + x² E(x) .

4. sin x * cos x à l'ordre 5 .

Alors ici inutile de calculer les 2 à l'ordre 5 , je prends le sinus à l'ordre 3 et le cos à l'ordre 2 , ce qui me fait :

(x - x³/3! + x³ E(x)) * (1 - x²/2 + x²E(x)) =

x - x³/2 + x³E(x) - x³/3! + x^5/12 + x^5 E(x) = x - 2x³/3 + x^5/12 + x^5 E(x) .

5. tan(x + pi/4)  à l'ordre 3 .

Alors ici j'ai utilisé tan(a+b) , ce qui donne : tan x + 1 / 1 - tan x , soit :

(x - x³/3 + 1 + x³ E(x)) / (1 - x + x³/3 + x³ E(x)

Probleme ici : je vais quoi des E(x) au cube , je les divise ?

merci pour vos commentaires .

Posté par
Ksilver
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 19:50

Salut !

j'ai aps regardé en entier, mais entous cas les methodes sont corectes.

pour la 5e, tu utilise un dévelopement de 1/(1-X)

avec X=x-x³/3+x^3.E(x)

Posté par
Tigweg Correcteur
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 19:57

Salut vous deux,

il faut quand même dire en quel point tu te places severinette!

Apparemment tu t'es placée au voisinage de 0 partout, à part au numéro 3 où tu t'es placée en l'infini, mais du coup tu n'obtiens pas un vrai développement puisqu'il y a autre chose que des puissances de 1/x.

Tu dois vraiment préciser où tu te places; d'ailleurs tu devrais essayer de te placer en d'autres points que 0, pour t'entraîner.

Posté par
severinette
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 19:57

merci ksilver mais pour le dernier j'obtiens pas 1/1-X avec ton changement de variable mais X+1/1-X malheureusement...

Posté par
severinette
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 19:59

salut tig , oui ce sont des DL en 0 , non au numéro 3 c'est un DL en 0 , j'ai utilisé la méthode que guitou m' montré ya quelques jours , mes DL sont justes à vue d'oeil ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 20:05

Dans ce cas le numéro 3 est faux puisque tu utilises un DL de ln(1+u) avec u qui tend vers l'infini puisque u=1/x.

A part ça, ça a l'air juste à vue de pif!

Posté par
severinette
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 20:14

comment tu ferais alors pour le 3 ? faut faire tendre u vers 0 donc je peux poser u = 1 / (-1/x + 1/x²)) ?

Posté par
gui_tou
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 20:16

Bonjour à tous

Severinette, ici >> méthode pour DL je n'ai pas factorisé par qqchose dépendant de x, mais par 2, une constante, ça change tout.

Posté par
severinette
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 20:23

guitou : exact mais ici si je factorise par 1 ça m'avance à rien

Posté par
gui_tou
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 20:25

Si tu veux le DL en 0 à l'ordre 2 de 3$\ell n(1-x+x^2), il suffit de faire le DL à l'ordre 2 de 3$\ell n(1+u) avec 3$u=-x+x^2, et u tend bien vers 0

Posté par
Tigweg Correcteur
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 20:28

Salut Guillaume

Posté par
gui_tou
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 20:29

Salut Greg J'ai pas dit de bêtises ?

Posté par
severinette
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 20:29

parfaitement compris , merci gui , tig et ksilver , je suis pas encore super forte mais je suis tjs moins nulle qu'avant en DL .

Posté par
Tigweg Correcteur
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 20:29

Non, c'est tout-à-fait juste!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 20:30

severinette-> essaie voir des DL en x=1 ou 2, c'est marrant et ça fait réfléchir à ce qu'on a le droit de faire ou pas!

Posté par
severinette
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 20:34

tig , j'ai tjs appris en 0 moi c'est pas au programme le 1 et le 2 , mais juste pour la curiosité , en 1 par exemple , pour ln(x²-x+1) , son DL à l'ordre 2 est :

x - (x² + x^4 - 2x³)/2 , ce qui me fait : 1 . je dois en tirer quelle conséquence ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 20:56

En fait pour un DL en 1 tu peux poser u=1-x qui tend vers 0 puis remplacer pour avoir une fonction de u:

comme x=1-u, on doit faire un DL en 0 de

ln((1-u)²-(1-u)+1)=ln(1-u+u²)=ln(1-(u-u²))=-(u-u²)-(u-u²)²/2+u²E(u)=-(u-u²)-u²/2 +u²E(u) = -u+u²/2+u²E(u), sauf erreur.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 20:59

Et il ne faut pas oublier de revenir aux x:

donc ln(x²-x+1)=(x-1)+(x-1)²/2 +(x-1)²E(1-x) avec lim E(1-x)=0 quand x tend vers 1.

Posté par
severinette
re : quelques DL personnels pour faire le point 28-04-08 à 23:10

je connais pas ces trucs théoriques c'est pas marqué dans mon cours , car quand tu cherches en 1 ou en pi/6 j'ai remarqué qu'à chaque fois on pose u = 1-x ou h = pi/6 + x ....

Posté par
Tigweg Correcteur
re : quelques DL personnels pour faire le point 29-04-08 à 09:40

Oui, c'est pour se ramener à une variable qui tend vers 0, puisque la plupart des DL sont étudiés en 0 justement!

Posté par
severinette
re : quelques DL personnels pour faire le point 29-04-08 à 17:29

merci bcp tig , c'est pas aussi clair que toi dans ma tête mais c'est tjs plus clair qu'avant

Posté par
Tigweg Correcteur
re : quelques DL personnels pour faire le point 29-04-08 à 19:02

Tant mieux, c'est l'essentiel!

Avec plaisir.



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