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Niveau maths spé
Question démonstration d'équivalence sur des ensembles
Posté par Kernelpanic
Bonjour à tous et à toutes,
voilà notre professeur nous a demandé de prouver l'équivalence "A
B=AC 
AB barre = AC barre"
Donc je sais qu'il faut déjà prouver l'implication de l'un et ensuite de l'autre (je ne sais pas si ma phrase est française mais j'espère que l'on va me comprendre). J'ai tenté de prouver la première implication ainsi et j'aimerais savoir si je peux l'améliorer ou si elle est tout simplement juste/fausse :
- On suppose que AB=AC
-Soit x
A
-Si xB, alors xAB
-De plus AB=AC donc xC
-Si x
B, alors xAB
-De plus AB=AC donc xC
-Ainsi xB barre et xC barre
-On peut donc écrire que xAB barre et xAC barre.
-Et depuis l'hypothèse on peut conclure que AB barre = AC barre et donc que AB=AC 
AB barre = AC barre
Voilà un grand merci d'avance !
Si A et B sont des parties d'un ensemble E j'écris A ' au lieu de E\A et AB au lieu de AB .
On a : 1A'C = 1C(1 - 1A ) = 1C - 1AC
1B'C = 1C(1 - 1B ) = 1C - 1BC
1A'C - 1B'C = 1BC - 1AC
Si AC = BC alors 1A'C = 1B'C donc A'C = B'C .
Et réciproquement .....
Ah, j'avoue ne pas avoir pensé à utiliser la fonction indicatrice ! C'est vraiment pas bête et beaucoup plus facile pour le coup, merci !
Bonjour Kernelpanic.
Notre ami etniopal aime beaucoup les indicatrices depuis peu 
Sinon, par défaut tu peux utiliser ceci sachant que pour toute partie X d'un ensemble E on a . Il s'ensuit :
qui équivaut à (en développant)
qui équivaut à
puisque par hypothèse
Et la dernière expression en bleue est encore équivalente à