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racines carrées d'un nombre complexe

Posté par
manphi 18-01-09 à 10:12

Bonjour,

j'ai à chercher la racine 4ième de Z = 8a^2-(1+a^2)^2+4ai(1-a^2)

Il faut d'abord chercher la racine carrée puis la racine carrée du z' trouvé mais j'ai fait des tas de développements mais ça ne marche jamais.

Avez-vous une idée ?

Merci d'avance.

Posté par
raymond Correcteurre : racines carrées d'un nombre complexe 18-01-09 à 10:36

Bonjour.

Calcule |Z|

Ensuite, utilise : cos(2u) = \fra{1-t^2}{1+t^2} \ et \ sin(2u) = \fra{2t}{1+t^2} \ avec \ t = tan(u)

Posté par
manphire : racines carrées d'un nombre complexe 18-01-09 à 16:06


Je trouve IZI=\sqrt{16a^2-17a^4+2a^2+1 et puis alors ?

Posté par
raymond Correcteurre : racines carrées d'un nombre complexe 18-01-09 à 16:14

Je trouve |Z| = (1+a²)²

Posté par
manphire : racines carrées d'un nombre complexe 18-01-09 à 16:35


J'ai posé X = 8a^2-(1+a^2)^2
et Y = 4a(1-a^2)
puis j'ai fait I Z I = \sqrt{X^2+Y^2}
mais je ne trouve pas la même chose que toi !

Posté par
raymond Correcteurre : racines carrées d'un nombre complexe 18-01-09 à 17:59

Ensupposant a réel :

2$\textrm |Z|^2 = [8a^2-(1+a^2)^2]^2+[4a(1-a^2)]^2\\ \\ \\ = 64a^4 - 16a^2(1+a^2)^2 + (1+a^2)^4 + 16a^2(1-a^2)^2\\ \\ \\ = 64a^4 + 16a^2[(1-a^2)^2-(1+a^2)^2] + (1+a^2)^4\\ \\ \\ = 64a^4 + 16a^2[-4a^2] + (1+a^2)^4\\ \\ \\ = (1+a^2)^4

Finalement |Z| = (1+a²)²

Posté par
manphire : racines carrées d'un nombre complexe 19-01-09 à 18:39


OK ça marche. Le reste était facile. Merci!

Posté par
raymond Correcteurre : racines carrées d'un nombre complexe 19-01-09 à 19:28

Bonne soirée. RR.


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