Niveau Maths sup

Raisonnement par récurrence

Posté par
SalmaEl30 13-09-17 à 23:26

Bonsoir,

Je bloque sur un exercice depuis deux jours, voici l'énoncé:

Montrer par récurrence que :

$\left|\sum_{k=1}^{k=n}{z_{k}} \right|=\sum_{k=1}^{k=n}{|z_{k}|}\Rightarrow quelque soit\; k\in [1,n] \; \frac{z_{k}}{z_{1}}\in R^{+}$ avec n un entier naturel et n>1

C'est vérifié pour n=2, donc on suppose que la proposition est vérifiée pour le rang n et on doit montrer qu'elle est aussi vérifiée pour le rang n+1, voici ce que j'ai trouvé au final :
$\left|\sum_{k=1}^{k=n+1}{z_{k}} \right|=\sum_{k=1}^{k=n+1}{|z_{k}|}\Rightarrow |\frac{\sum_{k=1}^{k=n}{z_{k}}}{z_{n+1}}+1|=\frac{\sum_{k=1}^{k=n}{|z_{k}|}}{|z_{n+1}|} +1$

Merci d'avance pour votre aide!

Posté par re : Raisonnement par récurrence 13-09-17 à 23:41

Bonsoir SalmaEl30.

Par hypothèse, tu sais que $z_i = \alpha_i . z_1$ pour i de 1 à n et $\alpha_i \geq 0$

Tu poses $z_0 = \underbrace{(1+ \alpha_2 + \cdots + \alpha_n)}_{>0}.z_1$ et l'hérédité s'écrit alors $|z_0 + z_{n+1}| = |z_0|+|z_{n+1}|$ .

Il te suffit d'appliquer l'hypothèse pour n = 2 et dire qu'il existe $\alpha_{n+1}\geq 0~\text{ tel que }z_{n+1} = \alpha_{n+1}.z_0$ et conclure.

Posté par re : Raisonnement par récurrence 13-09-17 à 23:45

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