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Raisonnements/démonstrations

Posté par
Meg09 22-09-19 à 16:30

Bonjour,
J'ai du mal à faire l'exercice 10
Quelqu'un pourrait m'aider svp ?
Merci d'avance

** image supprimée **

Posté par
gerrebare : Raisonnements/démonstrations 22-09-19 à 16:34

1)***on attend un énoncé recopié***

Posté par
malou Webmasterre : Raisonnements/démonstrations 22-09-19 à 17:50

Bonjour et bienvenue,
Je vois que tu es nouveau, ton image a été supprimée car interdite. Lis ceci Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci et recopie ton énoncé ici même. Quelqu'un t'aidera alors. Maintenant, surtout respecte le règlement, sinon tu recevrais un avertissement, ce serait dommage....
(modérateur)

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q10 - Puis-je insérer des symboles mathématiques afin de faciliter la lecture de mon message ?

Posté par
Meg09Raisonnement/Démonstration 22-09-19 à 20:12

Bonjour,
J'ai du mal a faire cette exercice :
"Pour n appartenant à N*, on pose, Sn = \sum_{k=1}^{k=n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}

1) Montrer que : pour tout n appartenant à N*, (n+1)\sqrt{n-1}\leq n\sqrt{n+1}
et 2\sqrt{n+2}\leq \frac{1}{\sqrt{n+1}}+2\sqrt{n+1}

2) Montrer par réccurence que : pour tout n appartenant à N*, Sn\leq \sqrt{n}+\sqrt{n-1}

3) Montrer que : pour tout n appartenant à N*, 2\sqrt{n+1}-2\leq Sn

Merci d'avance

*** message déplacé ***et le multipost ....attention....

Posté par
carpediemre : Raisonnements/démonstrations 22-09-19 à 20:21

salut

(n + 1) \sqrt {n - 1} \le n \sqrt {n + 1}\iff \dfrac {\sqrt {n - 1}} n \le \dfrac 1 {\sqrt {n + 1}} \iff \sqrt {n^2 - 1} \le n = \sqrt {n^2}

à toi de remettre les choses dans l'ordre ...

Posté par
carpediemre : Raisonnements/démonstrations 22-09-19 à 20:31

2 \sqrt {n + 2} \le \dfrac 1 {\sqrt {n + 1}} + 2 \sqrt {n + 1} \iff 2 \sqrt {n + 1} \sqrt {n + 2} \le 1 + 2 \sqrt {n + 1} \sqrt {n + 1} \iff n + 1 + 2 \sqrt {n + 1} \sqrt {n + 2} \le 1 + 2 \sqrt {n + 1} \sqrt {n + 1} + n + 1 + n + 2 \iff \\ \\ \left( \sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} \right)^2 \le \left(\sqrt {n + 1} + 1 \right)^2 + \sqrt {n + 2} ^2

faut voir ...

Posté par
Meg09re : Raisonnements/démonstrations 22-09-19 à 20:34

Je n'ai pas totalement compris…

Posté par
carpediemre : Raisonnements/démonstrations 22-09-19 à 20:42

dommage ...

bien que j'ai fait une erreur

carpediem @ 22-09-2019 à 20:31

2 \sqrt {n + 2} \le \dfrac 1 {\sqrt {n + 1}} + 2 \sqrt {n + 1} \iff 2 \sqrt {n + 1} \sqrt {n + 2} \le 1 + 2 \sqrt {n + 1} \sqrt {n + 1} \iff n + 1 + 2 \sqrt {n + 1} \sqrt {n + 2}  {\red + n + 2} \le 1 + 2 \sqrt {n + 1} \sqrt {n + 1} + n + 1 + n + 2 \iff \\ \\ \left( \sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} \right)^2 \le \left(\sqrt {n + 1} + 1 \right)^2 + \sqrt {n + 2} ^2

faut voir ...


sinon le TAF donne la solution ...

Posté par
Meg09re : Raisonnements/démonstrations 22-09-19 à 20:45

Déjà pour la 1e partie du 1), j'ai fais:
(n+1)\sqrt{n-1}\leq n\sqrt{n+1} \Leftrightarrow (n^{2}+2n+1)(n-1)\leq n^{2}(n+1)\Leftrightarrow n^{3}+n^{2}-2n-1\leq n^{3}+n^{2}\Leftrightarrow n\geq 1
Mais le reste j'y arrive pas

Posté par
carpediemre : Raisonnements/démonstrations 22-09-19 à 20:56

ben c'est sur !!!

quel est l'intérêt de développer (n + 1)^2 ?


sinon effectivement pour comparer deux nombres positifs on peut comparer leur carré ...

Posté par
Meg09re : Raisonnements/démonstrations 22-09-19 à 20:57

Pour la 2e partie du 1), j'ai fait :2\sqrt{n+2}\leq \frac{1}{\sqrt{n+1}}+2\sqrt{n+1}\Leftrightarrow 2\sqrt{n+2}\sqrt{n+1}\leq 3+2n\Leftrightarrow 4(n+2)(n+1)\leq (3+2n)^2{}\Leftrightarrow 4n^{2}+12n+8\leq 9+12n+4n^{2}\Leftrightarrow 8\leq 9

Mais je trouve cela bizarre puisque le but est de démontrer que cette inégalité est valable lorsque n\geq 1

Posté par
Meg09re : Raisonnements/démonstrations 22-09-19 à 21:00

l'interet de le développer (n+1)^2 est justement pour trouver n\geq 1

Posté par
carpediemre : Raisonnements/démonstrations 22-09-19 à 21:03

ben non !!! aucun intérêt !!!

ne vois-tu pas que n + 1 est de chaque côté !!!!

si a et b sont positifs alors pour montrer que a < b il suffit de montrer que b^2 - a^2 > 0 ...

Posté par
Meg09re : Raisonnements/démonstrations 22-09-19 à 21:48

Mais du coup pour la 2e partie du 1), c'est bon ? et pour la 2e je suis bloquer pour l'hérédité


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