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Niveau Maths sup
récurrence
Posté par mohamed123
salut...merci de chercher avec moi ..l'errur dans ce raisonnement
En quoi le raisonnement suivant est-il faux ?
SoitP(n) : n crayons de couleurs sont tous de la même couleur.
- P(1) est vraie car un crayon de couleur est de la même couleur que lui-même.
- SupposonsP(n). Soit n+1 crayons. On en retire 1. Les n crayons restants sont de la même couleur par hypothèse de récurrence.
Reposons ce crayon et retirons-en un autre ; les n nouveaux crayons sont à nouveau de la même couleur. Le premier crayon retiré
était donc bien de la même couleur que les n autres. La proposition est donc vraie au rang n+1.
- On a donc démontré que tous les crayons en nombre infini dénombrable sont de la même couleur.
Bonjour,
Je ne suis pas un pro du dénombrement, mais quand tu écris:
Citation :
SupposonsP(n). Soit n+1 crayons. On en retire 1. Les n crayons restants sont de la même couleur par hypothèse de récurrence.
SupposonsP(n). Soit n+1 crayons. On en retire 1. Les n crayons restants sont de la même couleur par hypothèse de récurrence.
C'est faux: Sauf si tu supposes que le crayon ajouté est obligatoirement de la même couleur.
Si c'est le cas, il n'y a rien a démontrer: Si j'ajoute 1 crayon rouge à n crayons rouges, j'ai n+1 crayons rouges.
Sinon, exemple: j'ajoute un crayon bleu à n crayons rouges, j'ai ensuite n chances sur n+1 d'enlever un rouge(et de ne plus avoir n rouge mais n-1 rouge et un bleu)
je dirais que dire que les n premiers crayons sont de la même couleur signifie que C0,...,Cn ont la même couleurs. Si tu reposes Cn+1 et que tu retires par exemple , il y aura certes n crayons, mais plus les n premiers crayons puisqu'il y aura
C1,...,C3,C5,...,Cn,Cn+1 ce qui n'est pas P(n).
Je note par Ci li ième crayon de couleur.
Bonjour,
ce paradoxe classique est utilisé pour démontrer que toutes les droites du plan sont parallèles, ou que tous les nombres sont égaux.
Ici il faut comprendre : tous les choix de n crayons sont formés de crayons de la même couleur (hypothèse de récurrence)
A démonter qu'alors tous les choix de n+1 crayons sont de la même couleur.
Dans un tel choix isolons deux crayons quelconques A et B
par hypothèse les n crayons sauf A sont de la couleur de B ("tous les choix de n crayons")
Et ("tous les choix de n crayons") les n crayons dont A et B, et sauf un crayon quelconque C sont de la même couleur.
Donc A et B sont de la même couleur et les n+1 crayons sont donc bien de la même couleur.
le bug n'est pas là !
il est dans l'hypothèse de départ "un crayon est de la même couleur que lui-même".
Pour faire fonctionner la récurrence, il est nécessaire d'avoir DEUX crayons au minimum (crayons B et C) et même trois (A) :
la récursion P(n)
P(n+1) ne marche que si n 
2
Est-ce que tous les choix de 2 crayons sont toujours de la même couleur ? évidement non.
Ah aussi il faut arrêter de tout ramener à des probabilités et arbres de décision, ce n'est pas parce que les "programmes" insistent lourdement là dessus qu'il faut se laisser faire.