bonsoir
non tu marches "à reculons là !"

supposons P_n vraie, tu regardes si P_n+1 l'est aussi
vas-y
recommence

Bonsoir
A oui effectivement, je viens de le voir merci mais du coup c'est juste une erreur de frappe (tapé une fois et fait copié - collé ensuite).

On suppose que 10n - 1 est un multiple de 9 c'est-à-dire que 10n - 1 = k * 9
Montrons que 10ⁿ⁺¹ - 1 l'est également.
10n - 1 = 9k
10n = 9k + 1
10ⁿ⁺¹ = (9k+1) * 10
10ⁿ⁺¹ = 90k + 10
10ⁿ⁺¹ - 1 = 90k + 9

A moins que mon raisonnement entier soit faux ..

mets bien tes exposants, sinon ça va être illisible
n'oublie pas de dire à quel ensemble appartient k que tu introduis

tu n'as pas fini là...

salut

suppsons que   Pn la proprieté  10ⁿ-1 =9k soit vraie à l'ordre n , montrons qu'elle l'est aussi à l'ordre n+1:

10.(10ⁿ-1 =10.9k
10ⁿ⁺¹ - 10 = 10.9k
10ⁿ⁺¹ - 9-1 = 10.9k
10ⁿ⁺¹ -1 = 10.9k +9
10ⁿ⁺¹ -1 = 9(10.k +1) =9.K

donc   10ⁿ⁺¹ -1 = 9.K   donc vraie aussi à l'ordre n+1

@malou oui, désolée je suis pas encore habituée, je ne vois pas desuite, pour moi la récurrence est finie là..

@flight Je comprends pas tout dans ton développement
10.(10ⁿ-1) =10 *9k
10ⁿ⁺¹ - 10 = 10 * 9k
10ⁿ⁺¹ - 9-1 = 10 * 9k
10ⁿ⁺¹ -1 = 10 * 9k +9
10ⁿ⁺¹ -1 = 9(10 * k +1) =9*K

Comment et pourquoi 9(10k + 1) arrivent à faire 9k ?

On demande :
Ces propriétés Pn et Qn sont-elles héréditaires ?  

puis
Ces propriétés sont-elles vraies pour tout entier n ?

j'ai remplacé  10k+1   par  grand K    et non petit k

@etniopal Dans le cas où on a pu prouver leur hérédité comme en haut oui, après je sais pas si il faut faire un lien héréditaire entre les deux propriétés justement (genre je ne sais pas du tout si ça existe mais bon).

En tout cas, une à une elles sont héréditaires et donc vraies pour tout entier n.

désolée j'ai continué à me pencher dessus et après vérification, ces deux propriétés sont héréditaires, cependant seule la 1ère est vraie pour tout n. On constate que la seconde (Qn) est fausse déjà au rang 1 du coup elle ne l'est pas pour tout n.

D'ailleurs nouvelle question, quand une initialisation est fausse, l'hérédité n'existe pas donc ici Pn est héréditaire et Qn non .. C'est ça ou il y a une propriété qui m'échappe ?

on va le verifier pour Qn

Qn = 10ⁿ +1 = 9k
si n = 0   10⁰+1 = 2   n'est pas un multiple de 9 .. pas la peine d'aller plus loin

pour

2ⁿn²     si n =4
1616   vraie pour n=4.

en multipliant membre à membre par  2 :

2ⁿ⁺¹2n²

or

n+1 > n  et  (n+1)² > n²   et 2(n+1)² > 2n²

soit   (n+1)²+(n+1)² > 2n²   et donc  2n² > (n+1)²

alors  2ⁿ⁺¹2n² > (n+1)²

soit   2ⁿ⁺¹> (n+1)²

3) Lorsque n est un entier naturel, calculer la somme 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) en fonction de n.

(2k+1)      pour k compris entre 0 et (n-1)

2k   + 1     pour k compris entre 0 et (n-1)

  soit  2.(n-1)n/2 +  n  =n.(n-1) + n = n²

salut



l'hérédité est évidente et nul besoin d'introduire un quelconque k



idem ...

ces deux propriétés sont donc héréditaires ...







or

la propriété est donc héréditaire pour tout n ... (*)

mais P(n) n'est vraie que pour n > 3


(*) dire que P(n) est héréditaire signifie : prouver que l'implication P(n) => P(n + 1) est vraie

pour n = 0/1/2 cette implication est F => F qui est vraie (mais ne prouve pas que que P(n) est vraie)

pour n = 3 cette implication est F = V qui est évidemment vraie et permet d'initialiser au rang 4 pour pouvoir affirmer que P(n) est vraie pour tout n > 4 ...

PS : une proposition où je tomberait sur V => F me foutrait dans la m....

Bonjour à tous

Pour une démonstration par récurrence, il n'y aurait pas une étape importante : l'initialisation ? Sinon on peut démontrer n'importe quoi qui aurait toutes les chances d'être faux !

J'avais pas tout lu et pas vu que cette notion a déjà été traitée.

CLa partie 1 de cet exercice fournit  un   exemple de propriété  héréditaire ( ou récurrente )   jamais vraie .

Un exemple plus simple :
"n = n + 1"  est  une propriété portant sur l'ensemble  des entiers > 0    jamais vraie bien qu'héréditaire  .