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Récurrence

Posté par
Amine36 22-09-18 à 09:59

Salut tout le monde.

J'ai un petit souci avec cette récurrence.

Mq: Pour tout n entier non nul, quelle que soit (x1,x2,.............,xn)/ xk réel positif non nul.

(x1+x2+........xn)(1/x1 + 1/x2 +...........+1/xn)> ou = n^2

Merci d'avance et désolé pour mon écriture, c'est mon premier post.

Posté par
Razesre : Récurrence 22-09-18 à 10:06

Bonjour,

Ton écriture est claire , Qu'as tu fait? Applique ton cours.

Initialisation:
....
Hérédité
....

Posté par
Amine36re : Récurrence 22-09-18 à 10:08

C'est ce que j'ai fait effectivement, mais je n'arrive pas a faire apparaître le (n+1)^2

Posté par
Razesre : Récurrence 22-09-18 à 10:17

Amine, Poste ce que tu as trouvé.

Posté par
Amine36re : Récurrence 22-09-18 à 10:23

j'ai trouvé:
[(x1 + x2 +..........+ x(n+1)][1/x1 + 1/x2 +...........+1/x(n+1)]>n^2 +1
le (n+1) c'est l'indice..

Posté par
verdurinre : Récurrence 22-09-18 à 10:30

Bonjour,
pour l'hérédité.

En posant
Sn=(x1+ . . . +xn) et In=(1/x1 + . . . +1/xn)
on a
Sn+1In+1=(Sn+xn+1)(In+1/xn+1)

En développant le produit on voit qu'il suffit de montrer que
Sn/xn+1+Inxn+12n

Ce qui ce fait avec une étude de fonction ( et l'hypothèse de récurrence ).

Posté par
Amine36re : Récurrence 22-09-18 à 10:33

C'est ce que je cherche merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Récurrence 22-09-18 à 12:41

salut

hors jeu : (x_1 + x_2 + ... + x_n) \left( \dfrac 1 {x_1} + \dfrac 1 {x_2} + ... + \dfrac 1 {x_n} \right) \ge n^2 \iff \dfrac {x_1 + x_2 + ... + x_n} n \ge \dfrac n {\dfrac 1 {x_1} + \dfrac 1 {x_2} + ... \dfrac 1 {x_n}}

Posté par
Razesre : Récurrence 22-09-18 à 14:56

Supposons la propriété P(n), démontrons que  P(n+1), dans cas le calcul nous conduira à celui de verdurin  qui revient à démontrer que :I_nx_{n+1}^{2}-2nx_{n+1}+S_n\geqslant 0, (polynôme du second degré en x_{n+1}

Posté par
Razesre : Récurrence 22-09-18 à 15:01

Tu peux utiliser la Forme Canonique d'un Polynome de Degré 2

Posté par
verdurinre : Récurrence 22-09-18 à 15:02

Salut Razes.
C'est effectivement plus rapide que l'étude de fonction que je proposais.

Posté par
Razesre : Récurrence 22-09-18 à 15:11

Bonjour verdurin,

L'étude de fonction est aussi une méthode et c'est important bon à savoir.

Posté par
Razesre : Récurrence 22-09-18 à 18:47

Bonsoir,

Un complément qui n'a rien à voir avec la récurrence mais fait intervenir les produits scalaire.
Soient: u=(\sqrt{x_1},\sqrt{x_2},\hdots,\sqrt{x_n}); v=\left (\frac{1}{\sqrt{x_1}},\frac{1}{\sqrt{x_2}},\hdots,\frac{1}{\sqrt{x_n}} \right )


\lambda \in \mathbb{R}, \left \| u+\lambda v \right \|\geqslant 0\Leftrightarrow \left \| v \right \|^{2}\lambda ^{2}+2\lambda \left \langle u.v \right \rangle+\left \| v \right \|^{2}\geqslant 0\Leftrightarrow \Delta =4\left \langle u.v \right \rangle^{2}-4\left \| v \right \|^{2}\left \| v \right \|^{2}\leqslant 0 \Leftrightarrow \left \| v \right \|^{2}\left \| v \right \|^{2}\geqslant \left \langle u.v \right \rangle^{2} (Qui n'est autre que l'Inégalité de Cauchy-Schwarz)   \blue\left | \left \langle u.v \right \rangle \right |\leqslant \left \| u \right \|\left \| v \right \|

Ce qui donne le résultat immédiatement.

Posté par
verdurinre : Récurrence 22-09-18 à 19:17

C'est à peu près ce que proposait carpediem.

Mais il me semble qu'il faut utiliser une récurrence.

Posté par
carpediemre : Récurrence 22-09-18 à 19:34

non je n'avais pas pensé à ça ...

je cherchais effectivement un produit scalaire (pour utiliser C-S comme Razes) ... mais je n'avais pas pensé aux racines carrées ...

je pensais plutôt moyenne arithmétique et moyenne harmonique ...

Posté par
verdurinre : Récurrence 22-09-18 à 19:56

Finalement je lis assez mal les pensées . . .

Posté par
carpediemre : Récurrence 22-09-18 à 20:05


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