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Recurrence
Posté par stephanieac
Bonjour je dois montrer que u(n) est STRICTEMENT croissante en sachant que:
u(0)=0
u(1)=1
u(n+2)=1+[u(n)+u(n+1)]/2
Par récurrence double.
Soit P(n):"u(n+1)>u(n)"
Initialisation: P(0):"u(1)>u(0)" est vraie
P(1): "u(2)>u(1)" est vraie
Hérédité: Soit n> ou égal à 0, on suppose P(n) et P(n+1) vraies pour cet entier n c'est-à-dire:
u(n+1)>u(n)
u(n+2)>u(n+1)
.
.
.
u(n+3)>u(n+2)
Donc P(n+2) est vraie
Conclusion: D'apres le principe de rec, P(n) est vraie à tous les rangs à partir de 0.
Je bloque pour l'heredité je veux montrer que u(n+3)-u(n+2)<0 mais on nous donne aucune info sur u(n+3)
salut
stephanieac @ 08-09-2021 à 18:40
montrer que u(n) est STRICTEMENT croissante en sachant que:
u(0)=0
u(1)=1
u(n+2)=1+[u(n)+u(n+1)]/2 (1)
mais on nous donne aucune info sur u(n+3)
ben si
montrer que u(n) est STRICTEMENT croissante en sachant que:
u(0)=0
u(1)=1
u(n+2)=1+[u(n)+u(n+1)]/2 (1)
mais on nous donne aucune info sur u(n+3)
ne peux-tu pas écrire la même égalité au rang suivant ?
Comment ça aucune info ?
un+3=u(n+1)+2=…
Pas besoin d'une récurrence double apparemment.
Aller roule
J'ai recommencé en faisant une récurrence simple.
Soit P(n):"u(n+1)>u(n)"
Initialisation: P(0):"u(1)>u(0)" est vraie
Hérédité: Soit n> ou égal à 0, on suppose P(n) vraie pour cet entier n c'est-à-dire:
u(n+1)>u(n)
u(n+1)+u(n)>2u(n)
[u(n+1)+u(n)]/2 +1>u(n)+1
u(n+2)>u(n)+1
.
.
.
u(n+2)>u(n+1)
donc P(n+1) est vraie
Conclusion: ...
Je dois montrer que la difference entre u(n)+1 et u(n+1) >0 et j'y arrive pas
conclusion : quelle doit être l'hypothèse de récurrence P(n) pour pourvoir affirmer que d est positif et que P(n + 1) est vraie ?
comment conclure alors que la suite est strictement croissante ?
carpediem ça m'aide pas j'ai déjà commencé à faire une recurrence simple comme mentionné en haut, donc me faire tout recommencer d'une autre manière ça va pas le faire..
j'ai énormément de doute sur la récurrence "simple" étant donné que la relation de récurrence s'exprime avec trois termes consécutifs ...
mais j'aimerai bien voir ...
par ailleurs :
stephanieac @ 08-09-2021 à 18:40
Par récurrence double.
Soit P(n):"u(n+1)>u(n)" je ne vois rien dans cette proposition qui fasse intervenir une récurrence "double" ...
Initialisation: P(0):"u(1)>u(0)" est vraie
P(1): "u(2)>u(1)" est vraie
Par récurrence double.
Soit P(n):"u(n+1)>u(n)" je ne vois rien dans cette proposition qui fasse intervenir une récurrence "double" ...
Initialisation: P(0):"u(1)>u(0)" est vraie
P(1): "u(2)>u(1)" est vraie
Déjà pardon le sujet a échappé à mon attention.
Je confirme excuse moi de t'avoir mener sur une mauvaise piste (on peut supposer uniquement un+1>un mais ça donne la croissance seulement 2 rangs après et je me rends compte que ça empêche la récurrence). Il n'y a pas tout à faire. On décale d'un rang et rajoute une hypothèse.
Carpediem t'a donné la différence entre 2 termes consécutifs… qu'il faudra appliquer au rang suivant donc.
Il manque plus qu'à utiliser l'hypothèse de récurrence (double) : un+2>un+1>un