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Niveau Maths sup
récurrence forte et classique
Posté par solidad01
Bonsoir tout le monde , désolé de vous déranger encore une fois , mais j'ai un petit soucis concernant la récurrence.
Je ne vois pas trop la différence entre la récurrence classique ( faible peut être ) et récurrence forte. Si vous pouvez me dire l'utilité de la récurrence forte , MERCI
salut
il n'y a qu'une récurrence :
tout le pb est de définir exactement ce qu'est l'hypothèse de récurrence
Bonjour solidad01.
C'est une distinction dont se moque pas mal à partir du moment où l'on sait ce qu'est le principe de récurrence.
La récurrence dite "forte" suppose une propriété vraie du rang 0 au rang n-1 et cherche à montrer qu'elle est alors vraie au rang n.
La récurrence dite "faible" suppose une propriété vraie au rang 0 et au rang n-1 et cherche à montrer qu'elle est alors vraie au rang n.
Je n'ai pas trop compris , je vois dans les exercices et les cours qu'il y'a une récurrence forte , double .... Y'a t il une réelle différence ?
La récurrence double, c'est la forte où l'on admet P(0), P(1) puis P(n-1) et P(n) pour obtenir P(n+1).
Mais tout ça, c'est un arbre qui cache la forêt du principe universel de récurrence :
Tu poses P'(n) := P(n-1) et P(n) et tu montre que P'(n) entraîne P'(n+1) épictou.
carpediem @ 12-09-2018 à 22:22
et tu n'as pas lu le mien ....
et tu n'as pas lu le mien ....
Bah pleure pas mon carpi, forcément que si il l'a lu, puisqu'il a répondu avant de lire le mien. C'est donc qu'il a répondu à quelque chose avant mon message, et avant mon message, il n'y a que le tien.
Extrait de "jsvdb mène l'enquête" paru aux éditions Élémentaire-mon-cher-Ouatsonne.
Si monsieur carpediem , mais je suis un peu perdu , j'ai entendu parler de la récurrence forte etc .... , je me suis dit qu'il existe plusieurs types de récurrence et chacune d'elle a sa propre utilité
Le principe de récurrence consiste à montrer une propriété sur l'ensemble des entiers naturels à partir de la vérité de ladite propriété au rang initial et sur un rang quelconque.
Plus précisément :
On montre la propriété au rang initial (généralement 0 ou 1)
On suppose la propriété vraie au rang n. On montre alors que cela entraîne la vérité de la propriété au rang n+1
On conclut sur la vérité de la propriété sur tous les entiers naturels.
bonjour,
Pour formaliser la "presque " identité entre récurrence forte et faible et justifier la non distinction entre les deux.
il faut tout de même expliquer à Solidad01 que le schéma est le même :
Pour ce que l'on appelle la récurrence faible . P(0) vraie (vérifiée) et si P(n-1) vraie alors P(n) vraie. une seule lettre P apparaît dans le schéma.
Pour ce que l'on appelle la récurrence forte:
On peut poser ...
comme initialisation
et émettre l'hypothèse ...
qui implique ...
donc un schéma de même structure
évidement cette forme n'est pas recommandable mais elle montre l'identité formelle des 2 récurrences.
Cependant si on peut dire que dans la récurrence "forte" il suffit de satisfaire la véracité de Q(0), il malhonnête de cacher que la véracité de Q(0) exige ici k vérifications.
après le travail est identique pour la démonstration puisque dans Q(n+1) les k-1 premières propositions de la conjonction sont déjà comprise dans l'hypothèse de récurrence.