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Rédaction récurrence

Posté par Profil Ramanujan 30-06-18 à 19:53

Bonjour,

Pourquoi on met une parenthèse ici ?

P(0) et (\forall n \in \N , P(n) \Longrightarrow P(n+1))

Posté par
Jezebethre : Rédaction récurrence 30-06-18 à 20:07

Bonjour

Pour qu'on voie bien les deux propositions coordonnées par le "et". On comprend quand même sans.

Posté par
lafol Moderateurre : Rédaction récurrence 30-06-18 à 20:41

Bonjour
la parenthèse, ce serait presque plus clair de ne l'ouvrir qu'après le \forall n\in \N, d'ailleurs

Posté par Profil Ramanujanre : Rédaction récurrence 30-06-18 à 20:50

Jezebeth @ 30-06-2018 à 20:07

Bonjour

Pour qu'on voie bien les deux propositions coordonnées par le "et". On comprend quand même sans.


Ok merci, dans mon livre ils rédigent toutes les récurrence de cette manière dès le 1er chapitre

Posté par
SkyMtnre : Rédaction récurrence 30-06-18 à 21:01

Généralement les récurrences ne sont pas rédigées de la sorte... du moins je n'ai jamais vu cela.

On peut écrire par exemple...

Montrons P(n) par récurrence.
Pour n=premier rang ... la propriété est vraie.
Soit/Fixons/Prenons (ou autres variantes) n un entier naturel (supérieur ou égal au premier rang).
Supposons P(n) ... donc P(n+1). Ce qui achève/termine la récurrence.

Posté par
Alishisapre : Rédaction récurrence 30-06-18 à 21:17

Voici ce que conseille mon (ancien) cours de prépa :

Citation :
Pour tout n entier naturel, notons P(n) l'assertion "[...]". Montrons que pour tout n entier naturel, P(n) par récurrence. Montrons P(0). [...] Soit n entier naturel. Supposons P(n) et montrons P(n+1) [...]

Posté par
jsvdbre : Rédaction récurrence 01-07-18 à 01:48

Bonjour Ramanujan.
Si tu veux la relation complète et précise c'est :

{\blue [\underbrace{P(0)}_{\text{initialisation}} \text{ et } \underbrace{(\forall n)((n \in \N \text{ et }P(n)) \Rightarrow P(n+1))}_{\text{hérédité}}]} \Rightarrow \red (\forall n)(n \in \N \Rightarrow P(n))

Concrètement dans les exercices, c'est la partie en bleu qu'on démontre et on conclut par la partie en rouge.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Rédaction récurrence 01-07-18 à 11:14

Bonjour,
Très clair

Posté par
malou Webmasterre : Rédaction récurrence 01-07-18 à 11:36

jsvdb, je vais te le "piquer" pour l'ajouter à la fiche récurrence de terminale, pour ceux qui veulent aller plus loin.....

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Rédaction récurrence 01-07-18 à 11:50

Je propose alors d'insérer quelques espaces :

{\blue [\underbrace{P(0)}_{\text{initialisation}} \text{ et } \underbrace{(\forall n)\;(\;(n \in \N \text{ et }P(n)) \Rightarrow P(n+1)\;)}_{\text{hérédité}}\;]} \Rightarrow \red (\forall n)(n \in \N \Rightarrow P(n))

Posté par
malou Webmasterre : Rédaction récurrence 01-07-18 à 11:58

Merci Sylvieg

edit : c'est fait ! Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés (juste avant les exemples)

Posté par
mousse42re : Rédaction récurrence 01-07-18 à 12:43

Bonjour Malou,

Dans l'énoncé de la fiche il est dit :

Pour un entier k quelconque on montre P(k)\implies P(k+1)

N'est-ce pas plutôt "un entier k quelconque, k\ge n_0"

Posté par
malou Webmasterre : Rédaction récurrence 01-07-18 à 13:42

tout à fait bien vu, merci mousse42 !

Posté par
mousse42re : Rédaction récurrence 01-07-18 à 13:47

de rien

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Rédaction récurrence 01-07-18 à 14:43

Encore moi :
Dans la fiche il manque le crochet gauche, au début de la partie bleue

Posté par
malou Webmasterre : Rédaction récurrence 01-07-18 à 14:46

exact !

Posté par Profil Ramanujanre : Rédaction récurrence 01-07-18 à 15:33

jsvdb @ 01-07-2018 à 01:48

Bonjour Ramanujan.
Si tu veux la relation complète et précise c'est :

{\blue [\underbrace{P(0)}_{\text{initialisation}} \text{ et } \underbrace{(\forall n)((n \in \N \text{ et }P(n)) \Rightarrow P(n+1))}_{\text{hérédité}}]} \Rightarrow \red (\forall n)(n \in \N \Rightarrow P(n))

Concrètement dans les exercices, c'est la partie en bleu qu'on démontre et on conclut par la partie en rouge.


Pourquoi vous séparez (\forall n) (n \in \N)

Et n'écrivez pas \forall n \in N ?

Pas compris.

Posté par
Alishisapre : Rédaction récurrence 01-07-18 à 18:08

Il faut comprendre le passage :

\red (\forall n)(n \in \N \Rightarrow P(n))

comme : "pour tout n,  si n est un entier naturel alors P(n) est vraie".

Il faut bien voir que "pour tout n entier naturel" n'est qu'un raccourci.

Voir l'avis des plus expérimentés que moi pour voir si je suis dans le vrai.

Posté par
jsvdbre : Rédaction récurrence 02-07-18 à 09:42

Tout ceci me fait penser que j'ai des fiches sur les termes, relations, théorèmes, quantificateurs etc etc à finir.

Au sujet de l'écriture "\forall n \in \N" :

Définition :

Si A et R sont deux relations et x une lettre, alors la relation \blue (\exists x)(A \textbf{ et } R) est abréviée par (\exists_A)R.

Le quantificateur ainsi créé, noté \exists_A, s'appelle quantificateur typique . On a son jumeau avec \forall_A.

L'utilisation la plus courante est faite avec des relation A du type \forall x \in E où E désigne un ensemble quelconque.

Donc quand on écrit \forall n \in \N, on devrait écrire \forall_{n\in \N} avec une mise en indice, mais ce n'est pas pratique.

Ainsi, d'après la définition du quantificateur typique, la relation  \red (\forall n)(n \in \N \Rightarrow P(n)) ne peut être abréviée en  \red (\forall n\in \N)(P(n)) qui veut dire alors  \red (\forall n)(n \in \N \textbf{ et } P(n)).

C'est l'utilisation des quantificateurs typiques et l'ignorance de leur définition qui fait que l'utilisation de la relation de récurrence (entre autre) est une vrai bouillie dans la tête de beaucoup.

Posté par
Alishisapre : Rédaction récurrence 02-07-18 à 12:49

Incroyable... Ça change totalement l'idée que je me faisais des quantificateurs.

Si je te suis, prenons l'assertion \forall x\in [0;1], \sqrt{x}\ge x

En toute rigueur, cette assertion notée ainsi signifie (\forall x)((x\in [0;1]) \wedge (\sqrt{x}\ge x))

Alors qu'en fait, on veut dire : (\forall x)((x\in [0;1]) \Longrightarrow (\sqrt{x}\ge x))

C'est ça ? Dans ce cas ça veut dire que tout le monde connaît des "abus de langage" en permanence ?

Posté par
Alishisapre : Rédaction récurrence 02-07-18 à 12:51

commet*

Posté par
jsvdbre : Rédaction récurrence 02-07-18 à 13:50

Zut et rezut, il faut que j'écrive un rectificatif, je me suis trompé... là je peux pas ... resto... avec les enfants !!!

Posté par
SkyMtnre : Rédaction récurrence 02-07-18 à 14:46

Bonjour, c'est plutôt \forall x\in E, P(x) raccourci pour (\forall x)(x\in E \Rightarrow P(x))
Mais en pratique, on n'écrit jamais les formules en quantifiant de cette manière (c'est lourd à écrire)...

Posté par
Alishisapre : Rédaction récurrence 02-07-18 à 14:58

SkyMtn : ok, c'est plutôt rassurant de se dire que je n'ai pas à remettre en question la totalité de manière d'écrire les maths.

Posté par
jsvdbre : Rédaction récurrence 02-07-18 à 15:56

Bien sûr que tu n'as pas à remettre en question certaines choses. Et heureusement.
Donc, je reprends :

Définition 1 :

Si A et R sont deux relations et x une lettre, alors la relation \blue (\exists x)(A \textbf{ et } R) est abréviée par (\exists_A)R.

Le quantificateur ainsi créé, noté \exists_A, s'appelle quantificateur typique .

On a son jumeau avec \forall_A.

Définition 2 :

Si A et R sont deux relations et x une lettre, alors la relation \blue (\forall_A x)R est l'abréviation de \text{non }(\exists_A)(\text{non R})

Donc \blue (\forall_A x)R est l'abréviation de :

\blue \text{non }(\exists x)(A \text{ et non }R) qui est la relation

\blue (\forall x)(\text{non }A \text{ ou } R) qui est elle-même la relation

\blue (\forall x)(A \Rightarrow R)

Comme le dit  SkyMtn, ces relations sont lourdes à manipuler en elle-même, donc on ne les écrit pas. Mais il ne faut pas oublier d'où elles viennent.

Pour application :
soit P(n) une relation sur la lettre n,
on note Q la relation \blue n \in \N
on note R la relation \blue Q \text{ et }P(n),
la relation de récurrence s'écrit en abrégé :

[P(0) \text{ et } (\forall_R~ n)(P(n+1))] \Rightarrow (\forall_Q~n)(P(n))

Tout cela reste très formel et il vaut mieux faire apprendre la relation de récurrence à partir de l'original et non sur les abréviations.

Posté par Profil Ramanujanre : Rédaction récurrence 23-07-18 à 01:11

Je viens de me rendre compte que je n'ai pas compris comment mettre les parenthèses  dans les implications logiques

\forall \epsilon >0 , \exists N \in \N, \forall n \in \N, (n \geq N \implies |u_n - a| \leq \epsilon )

Je comprends pas la différence avec ça par exemple :

(\forall \epsilon >0 , \exists N \in \N, \forall n \in \N, n \geq N) \implies |u_n - a| \leq \epsilon

Posté par
jsvdbre : Rédaction récurrence 23-07-18 à 01:52

La première est bonne car tous tes quantificateurs sont en "facteur commun" de la proposition entre parenthèse.
La seconde n'a mathématiquement aucun sens :
1/ la première parenthèse signifie tout simplement que pour tout \varepsilon > 0, on peut trouver un N entier tel que tout entier n soit supérieur à N. C'est vrai, il suffit de prendre N = 0 et ce indépendamment de \varepsilon
2/ La proposition entre parenthèse, qui est toujours vraie, implique que |u_n - a| < \varepsilon et dans cette proposition, ni n ni \varepsilon ne sont présentés.

(J'ai implicitement supposé que les objets a et u étaient des constantes présentées avant.)

Donc si tu ne veux pas commettre d'impair dans le parenthésage des quantificateurs tu fais comme ceci :

(\forall \varepsilon > 0)(\exists N \in \N)(\forall n \in \N)(n \geq N \Rightarrow |u_n - a| < \varepsilon)

Mais il ne faut pas oublier que cette proposition n'est que l'abréviation de :

(\forall \varepsilon)(\varepsilon \in \R_+^* \Rightarrow {\blue (\exists N)[N \in \N \textbf { et } (\forall n)((n \in \N \textbf { et } n \geq N)\Rightarrow (|u_n - a| < \varepsilon))]})

Posté par
luzakre : Rédaction récurrence 23-07-18 à 09:33

Bonjour jsvdb !
Cela fait plusieurs fois où je te vois utiliser le barbarisme : "abrévier".
Ce mot n'existe pas dans le Robert et a dû être créé par des "wikistes" trompés par les mots "abréviation" et "abréviatif".

Je ne suis pas un fana du pédantisme mais je trouve que c'est un peu exagéré d'oublier "abréger" pour un néologisme inventé.

De même je ne sais pas qui est le "cuistre" qui a décidé de remplacer "résoudre" par "solutionner". Probablement quelqu'un qui ne maîtrise pas les verbes qui ne sont pas du premier groupe.
Comme disait un humoriste : pourquoi s'arrêter en si bon chemin ?  On peut suivre avec "solutionnement" puis "solutionnementer" puis "solutionnementation"...

Posté par Profil Ramanujanre : Rédaction récurrence 23-07-18 à 13:10

J'ai pas compris cette partie :

"2/ La proposition entre parenthèse, qui est toujours vraie, implique que |u_n - a| < \varepsilon et dans cette proposition, ni n  ni \varepsilon ne sont présentés. "

Comment ça ni n ni \varepsilon ne sont présentés ?

Je crois que j'ai toujours pas compris pourquoi la 2 est fausse.

Posté par Profil Ramanujanre : Rédaction récurrence 23-07-18 à 22:39

J'ai rien compris aux parenthèses en logique je me rends compte. J'abandonne.

Posté par
jsvdbre : Rédaction récurrence 23-07-18 à 22:47

Un vainqueur n'abandonne jamais.
Un lâcheur ne gagne jamais.

Désolé, Mais pendant trois jours je ne vais avoir que mon téléphone portable pour écrire.


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